山东大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
3．求 $x^{\prime}=A x$ 的基础解系，其中 $A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{array}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：写出特征方程并求解特征值
对于矩阵 $A=\begin{pmatrix}1 & 4 & 2 \\ 0 & -3 & 4 \\ 0 & 4 & 3\end{pmatrix}$，特征方程为 $\det(A-\lambda I)=0$。计算行列式：
$$
\det\begin{pmatrix}
1-\lambda & 4 & 2 \\
0 & -3-\lambda & 4 \\
0 & 4 & 3-\lambda
\end{pmatrix} = (1-\lambda)\big[(-3-\lambda)(3-\lambda)-16\big] = (1-\lambda)(\lambda^2-25)=0.
$$
解得特征值 $\lambda_1=1,\ \lambda_2=5,\ \lambda_3=-5$。
公式：\det(A-\lambda I)=0
提示：注意行列式的计算，尤其是展开时不要遗漏因子。
步骤 2/5
目标：求特征值1的特征向量
将 $\lambda=1$ 代入 $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$，得：
$$
\begin{pmatrix}
0 & 4 & 2 \\
0 & -4 & 4 \\
0 & 4 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0.
$$
由第二行得 $-4x_2+4x_3=0$，即 $x_2=x_3$；代入第一行 $4x_2+2x_3=0$ 得 $6x_2=0$，故 $x_2=0$，从而 $x_3=0$。$x_1$ 自由。取 $x_1=1$，得特征向量 $\xi_1=(1,0,0)^T$。
公式：(A-\lambda I)\mathbf{x}=0
提示：注意方程组化简时，不要遗漏方程，确保所有方程都满足。
步骤 3/5
目标：求特征值5的特征向量
将 $\lambda=5$ 代入 $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$，得：
$$
\begin{pmatrix}
-4 & 4 & 2 \\
0 & -8 & 4 \\
0 & 4 & -2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0.
$$
由第二行得 $-8x_2+4x_3=0$，即 $x_3=2x_2$；代入第一行 $-4x_1+4x_2+2x_3=0$ 得 $-4x_1+4x_2+4x_2=0$，即 $x_1=2x_2$。取 $x_2=1$，得 $x_1=2,\ x_3=2$，特征向量 $\xi_2=(2,1,2)^T$。
公式：(A-\lambda I)\mathbf{x}=0
提示：注意代入时保持方程一致性，避免计算错误。
步骤 4/5
目标：求特征值-5的特征向量
将 $\lambda=-5$ 代入 $(A-\lambda I)\mathbf{x}=0$，得：
$$
\begin{pmatrix}
6 & 4 & 2 \\
0 & 2 & 4 \\
0 & 4 & 8
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0.
$$
由第二行得 $2x_2+4x_3=0$，即 $x_2=-2x_3$；代入第一行 $6x_1+4x_2+2x_3=0$ 得 $6x_1-8x_3+2x_3=0$，即 $x_1=x_3$。取 $x_3=1$，得 $x_1=1,\ x_2=-2$，特征向量 $\xi_3=(1,-2,1)^T$。
公式：(A-\lambda I)\mathbf{x}=0
提示：注意符号处理，避免代入时出错。
步骤 5/5
目标：写出基础解系
三个特征值互异，对应的特征向量线性无关，构成基础解系：
$$
\xi_1=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\quad
\xi_2=\begin{pmatrix}2\\1\\2\end{pmatrix},\quad
\xi_3=\begin{pmatrix}1\\-2\\1\end{pmatrix}.
$$
提示：基础解系中的向量必须线性无关，且个数等于矩阵的阶数。
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