山东大学 2023年高等代数第0题

设 $k_1\alpha_1 + k_2\alpha_2 + k_3\alpha_3 = 0$，即 \[ k_1\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} + k_2\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} + k_3\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0\\0\\0\end{pmatrix}. \] 得到线性方程组 \[ \begin{cases} k_1 + k_2 + k_3 = 0 \\ k_1 + k_2 + 2k_3 = 0 \\ k_1 + 2k_2 + 3k_3 = 0 \end{cases} \] 将第一式乘以-1加到第二式得 $k_3 = 0$；将第一式乘以-1加到第三式得 $k_2 + 2k_3 = 0$，代入 $k_3=0$ 得 $k_2=0$；再由第一式得 $k_1=0$。所以只有零解，向量组线性无关，因此是 $\mathbb{R}^3$ 的一组基。

设 $\alpha$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标为 $(x_1, x_2, x_3)^T$，即 \[ x_1\alpha_1 + x_2\alpha_2 + x_3\alpha_3 = \alpha. \] 代入得 \[ x_1\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix} + x_2\begin{pmatrix}1\\1\\2\end{pmatrix} + x_3\begin{pmatrix}1\\2\\3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}6\\9\\14\end{pmatrix}. \] 得到线性方程组 \[ \begin{cases} x_1 + x_2 + x_3 = 6 \\ x_1 + x_2 + 2x_3 = 9 \\ x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 14 \end{cases} \]

将第一式乘以-1加到第二式得 $x_3 = 3$；将第一式乘以-1加到第三式得 $x_2 + 2x_3 = 8$，代入 $x_3=3$ 得 $x_2 = 2$；再由第一式得 $x_1 = 6 - 2 - 3 = 1$。所以坐标为 $(1,2,3)^T$。

从标准基 $\varepsilon_1, \varepsilon_2, \varepsilon_3$ 到基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 的过渡矩阵 $P$ 的列向量就是 $\alpha_i$，即 \[ P = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{pmatrix}. \] 向量 $\alpha$ 在标准基下的坐标为 $(6,9,14)^T$。设 $\alpha$ 在基 $\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3$ 下的坐标为 $x$，则 $\alpha = P x$，所以 $x = P^{-1} \alpha$。

对增广矩阵 $(P \mid I)$ 进行初等行变换： \[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 2 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 3 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right) \] 将第一行乘以-1加到第二行和第三行： \[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) \] 交换第二行和第三行： \[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & -1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right) \] 将第三行乘以-2加到第二行，并将第三行乘以-1加到第一行： \[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 1 & 0 & 2 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right) \] 将第二行乘以-1加到第一行： \[ \left(\begin{array}{ccc|ccc} 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1 & 1 & 0 \end{array}\right) \] 所以 \[ P^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix}. \]

于是 \[ x = P^{-1} \alpha = \begin{pmatrix} 1 & 1 & -1 \\ 1 & -2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix}6\\9\\14\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1\cdot6 + 1\cdot9 + (-1)\cdot14 \\ 1\cdot6 + (-2)\cdot9 + 1\cdot14 \\ (-1)\cdot6 + 1\cdot9 + 0\cdot14 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6+9-14 \\ 6-18+14 \\ -6+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}. \] 所以坐标为 $(1,2,3)^T$。