山东大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
2．求解微分方程 $y^{\prime \prime}-y=x e^{x} \cos x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：解齐次方程
齐次方程为 $y'' - y = 0$。特征方程为 $r^2 - 1 = 0$，解得 $r = \pm 1$。因此齐次通解为 $y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-x}$。
公式：特征方程 $r^2 - 1 = 0$
提示：注意特征根为实数且互异，通解形式为指数函数线性组合。
步骤 2/6
目标：确定特解形式
非齐次项 $f(x) = x e^x \cos x$。考虑辅助方程 $y'' - y = x e^{(1+i)x}$，取虚部。由于 $1+i$ 不是特征根，特解形式设为 $\tilde{y}_p = (Ax + B) e^{(1+i)x}$。
公式：特解形式：$\tilde{y}_p = (Ax + B) e^{(1+i)x}$
提示：注意 $1+i$ 不是特征根，因此不需要乘以 $x$；但原方程有 $x$ 因子，所以多项式设为一次。
步骤 3/6
目标：计算特解导数并代入方程
计算 $\tilde{y}_p$ 的导数：$\tilde{y}_p' = [A + (1+i)(Ax+B)] e^{(1+i)x}$，$\tilde{y}_p'' = [2A(1+i) + (1+i)^2 (Ax+B)] e^{(1+i)x}$。代入方程 $\tilde{y}_p'' - \tilde{y}_p = x e^{(1+i)x}$，得 $[2A(1+i) + ((1+i)^2 - 1)(Ax+B)] = x$。
公式：$\tilde{y}_p'' - \tilde{y}_p = [2A(1+i) + ((1+i)^2 - 1)(Ax+B)] e^{(1+i)x}$
提示：计算 $(1+i)^2 = 2i$，注意复数运算的准确性。
步骤 4/6
目标：比较系数求解 A 和 B
由 $(1+i)^2 - 1 = 2i - 1$，得 $(2i-1)Ax + [2A(1+i) + (2i-1)B] = x$。比较系数：$(2i-1)A = 1$，$2A(1+i) + (2i-1)B = 0$。解得 $A = \frac{1}{2i-1} = -\frac{1}{5} - \frac{2}{5}i$，$B = \frac{14}{25} - \frac{2}{25}i$。
公式：$A = \frac{1}{2i-1}$, $B = \frac{-2A(1+i)}{2i-1}$
提示：解复数方程时，分母有理化，注意共轭复数的使用。
步骤 5/6
目标：取虚部得到实特解
复数特解 $\tilde{y}_p = (Ax+B) e^{(1+i)x}$。令 $P = -\frac{1}{5}x + \frac{14}{25}$，$Q = -\frac{2}{5}x - \frac{2}{25}$，则 $\tilde{y}_p = e^x (P+iQ)(\cos x + i\sin x)$。虚部为 $y_p = e^x (P \sin x + Q \cos x) = e^x \left[ \left(-\frac{1}{5}x + \frac{14}{25}\right) \sin x + \left(-\frac{2}{5}x - \frac{2}{25}\right) \cos x \right]$。
公式：$y_p = \Im(\tilde{y}_p) = e^x (P \sin x + Q \cos x)$
提示：注意取虚部时，$e^{(1+i)x} = e^x (\cos x + i\sin x)$，乘积的虚部为 $e^x (P \sin x + Q \cos x)$。
步骤 6/6
目标：写出通解
原方程的通解为齐次通解与特解之和：$y = y_h + y_p = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + e^x \left( -\frac{1}{5}x \sin x + \frac{14}{25} \sin x - \frac{2}{5}x \cos x - \frac{2}{25} \cos x \right)$。
公式：$y = y_h + y_p$
提示：最终答案中，特解部分可以合并同类项，但保持原形式即可。
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