山东大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
2．设 $A$ 是数域 $K$ 上 $m \times n$ 矩阵，$V$ 是 $K$ 上满足 $A X=O(X$ 是 $n \times s$ 未知矩阵，$O$ 是 $m \times s$ 零矩阵）的全体 $n \times s$ 矩阵组成的集合。问：对矩阵普通加法以及数与矩阵乘法，$V$ 是否构成线性空间？若 $V$ 构成线性空间，求其维数并给出一组基．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：判断集合V是否构成线性空间
首先，验证$V$对矩阵加法和数乘的封闭性。对任意$X_1, X_2 \in V$，有$AX_1=O$，$AX_2=O$，则$A(X_1+X_2)=AX_1+AX_2=O+O=O$，故$X_1+X_2 \in V$。对任意$k \in K$，$X \in V$，有$A(kX)=k(AX)=kO=O$，故$kX \in V$。零矩阵$O_{n \times s}$满足$AO=O$，属于$V$。对任意$X \in V$，$-X$满足$A(-X)=-AX=-O=O$，故$-X \in V$。因此$V$是$K^{n \times s}$的子空间，构成线性空间。
提示：注意验证线性空间的所有条件：加法封闭、数乘封闭、零元、负元。
步骤 2/6
目标：将矩阵方程转化为列向量方程组
将矩阵$X$按列分块：$X=(x_1, x_2, \dots, x_s)$，其中$x_j \in K^n$是列向量。则$AX = (Ax_1, Ax_2, \dots, Ax_s) = O$等价于每个列向量满足$Ax_j = 0$，$j=1,\dots,s$。因此$V$中的矩阵其每一列都是齐次线性方程组$Ax=0$的解。
公式：$AX = O \iff Ax_j = 0, \forall j$
提示：分块是处理矩阵方程的关键技巧，注意列分块与行分块的区别。
步骤 3/6
目标：确定解空间W的维数和基
设$A$的秩为$r = \operatorname{rank}(A)$，则齐次方程组$Ax=0$的解空间$W \subseteq K^n$的维数为$\dim W = n - r$。取$W$的一组基$\alpha_1, \dots, \alpha_{n-r}$，则任意解向量可唯一表示为它们的线性组合。
公式：$\dim W = n - \operatorname{rank}(A)$
提示：秩-零化度定理是核心，注意$A$是$m \times n$矩阵，$n$是未知数个数。
步骤 4/6
目标：构造V的基矩阵
对每个$i=1,\dots,n-r$和$j=1,\dots,s$，定义矩阵$E_{ij}$，其第$j$列为$\alpha_i$，其余列均为零向量。这些矩阵共有$(n-r)s$个，且线性无关：若线性组合$\sum_{i,j} c_{ij} E_{ij} = O$，则每个列向量为零，即$\sum_i c_{ij} \alpha_i = 0$，由$\alpha_i$线性无关得所有$c_{ij}=0$。
公式：$E_{ij}$的第$j$列为$\alpha_i$，其余列为0
提示：注意基矩阵的构造：每个基矩阵对应一个基向量和一个列位置，确保覆盖所有自由度。
步骤 5/6
目标：证明基矩阵张成V
任意$X \in V$，其每一列$x_j \in W$，故可唯一表示为$x_j = \sum_{i=1}^{n-r} c_{ij} \alpha_i$。则$X = \sum_{i=1}^{n-r} \sum_{j=1}^s c_{ij} E_{ij}$，因此$V$中任意矩阵可表示为这些基矩阵的线性组合，即$\{E_{ij}\}$张成$V$。
公式：$X = \sum_{i,j} c_{ij} E_{ij}$
提示：线性组合的系数就是各列在基下的坐标，注意矩阵的线性组合是按元素相加。
步骤 6/6
目标：得出V的维数和一组基
由以上讨论，$\{E_{ij}\}$是$V$的一组基，基的个数为$(n-r)s$，故$\dim V = (n - \operatorname{rank}(A)) s$。一组基为：取齐次方程组$Ax=0$的基础解系$\alpha_1,\dots,\alpha_{n-r}$，则所有形如$E_{ij}$（第$j$列为$\alpha_i$，其余列为零）的矩阵构成一组基。
公式：$\dim V = (n - \operatorname{rank}(A)) s$
提示：维数依赖于$A$的秩和矩阵$X$的列数$s$，注意$s$是任意正整数。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。