山东大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
9．设欧几里得空间 $V=\mathbb{R}^{4}$ 中的三个向量为 $\alpha_{1}=(1,-1,-1,1), \alpha_{2}=(1,0,-1,1), \alpha_{3}=(0,1,-1,1)$ ，子空间 $W=L\left(\alpha_{1}, \alpha_{2}, \alpha_{3}\right)$ ，求向量 $\beta=(2,1,4,2)$ 在 $W$ 上的正交投影．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：构造子空间W的一组基
给定向量 $\alpha_1=(1,-1,-1,1), \alpha_2=(1,0,-1,1), \alpha_3=(0,1,-1,1)$，它们线性无关，构成子空间 $W$ 的一组基。
提示：验证线性无关：检查三个向量是否线性无关，否则需要剔除线性相关的向量。
步骤 2/6
目标：施密特正交化第一步
令 $\beta_1 = \alpha_1 = (1,-1,-1,1)$。计算 $\|\beta_1\| = \sqrt{1^2+(-1)^2+(-1)^2+1^2} = 2$，单位化得 $\varepsilon_1 = \frac{1}{2}(1,-1,-1,1)$。
公式：$\beta_1 = \alpha_1$, $\varepsilon_1 = \frac{\beta_1}{\|\beta_1\|}$
提示：注意内积的定义：$(x,y)=x_1y_1+x_2y_2+x_3y_3+x_4y_4$。
步骤 3/6
目标：施密特正交化第二步
计算 $\alpha_2$ 在 $\beta_1$ 上的投影：$(\alpha_2,\beta_1)=1\cdot1+0\cdot(-1)+(-1)\cdot(-1)+1\cdot1=3$，$(\beta_1,\beta_1)=4$，投影为 $\frac{3}{4}\beta_1$。则 $\beta_2 = \alpha_2 - \frac{3}{4}\beta_1 = (\frac{1}{4},\frac{3}{4},-\frac{1}{4},\frac{1}{4})$。计算 $\|\beta_2\| = \sqrt{(\frac{1}{4})^2+(\frac{3}{4})^2+(-\frac{1}{4})^2+(\frac{1}{4})^2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$，单位化得 $\varepsilon_2 = \frac{1}{\sqrt{3}}(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-\frac{1}{2},\frac{1}{2})$。
公式：$\beta_2 = \alpha_2 - \frac{(\alpha_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1$, $\varepsilon_2 = \frac{\beta_2}{\|\beta_2\|}$
提示：注意投影系数的计算：分子是内积，分母是模长的平方。
步骤 4/6
目标：施密特正交化第三步
计算 $\alpha_3$ 在 $\beta_1,\beta_2$ 上的投影：$(\alpha_3,\beta_1)=1$, $(\alpha_3,\beta_2)=\frac{5}{4}$, $(\beta_2,\beta_2)=\frac{3}{4}$，投影为 $\frac{1}{4}\beta_1 + \frac{5/4}{3/4}\beta_2 = \frac{1}{4}\beta_1 + \frac{5}{3}\beta_2$。则 $\beta_3 = \alpha_3 - \frac{1}{4}\beta_1 - \frac{5}{3}\beta_2 = (-\frac{2}{3},0,-\frac{1}{3},\frac{1}{3})$。计算 $\|\beta_3\| = \frac{\sqrt{6}}{3}$，单位化得 $\varepsilon_3 = \frac{1}{\sqrt{6}}(-2,0,-1,1)$。
公式：$\beta_3 = \alpha_3 - \frac{(\alpha_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 - \frac{(\alpha_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2$, $\varepsilon_3 = \frac{\beta_3}{\|\beta_3\|}$
提示：注意投影到多个向量时，要减去在每个正交向量上的投影。
步骤 5/6
目标：计算向量β在标准正交基上的投影系数
计算内积：$(\beta,\varepsilon_1) = \frac{1}{2}(2\cdot1+1\cdot(-1)+4\cdot(-1)+2\cdot1) = -\frac{1}{2}$，$(\beta,\varepsilon_2) = \frac{1}{2\sqrt{3}}(2\cdot1+1\cdot3+4\cdot(-1)+2\cdot1) = \frac{\sqrt{3}}{2}$，$(\beta,\varepsilon_3) = \frac{1}{\sqrt{6}}(2\cdot(-2)+1\cdot0+4\cdot(-1)+2\cdot1) = -\sqrt{6}$。
公式：$c_i = (\beta, \varepsilon_i)$
提示：注意内积计算要仔细，避免符号错误。
步骤 6/6
目标：求和得到正交投影
投影为 $\sum_{i=1}^3 c_i \varepsilon_i = (-\frac{1}{2})\varepsilon_1 + (\frac{\sqrt{3}}{2})\varepsilon_2 + (-\sqrt{6})\varepsilon_3$。代入表达式：$(-\frac{1}{2})\cdot\frac{1}{2}(1,-1,-1,1) + \frac{\sqrt{3}}{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{3}}(1,3,-1,1) - \sqrt{6}\cdot\frac{1}{\sqrt{6}}(-2,0,-1,1) = (2,1,1,-1)$。
公式：$\text{proj}_W(\beta) = \sum_{i=1}^k (\beta,\varepsilon_i)\varepsilon_i$
提示：注意系数与基向量相乘后相加，最后化简得到结果。
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