山东大学 2025年高等代数第1题
📝 题目
1．（15 分）设齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\ a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-2,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0\end{array}\right.$ ．
证明：$\displaystyle X_{0}=\left(x_{1_{o}}, x_{2_{o}}, \cdots, X_{n_{o}}\right)^{T}$ 为该方程组的解，其中
$$
\begin{aligned}
& x_{1_{o}}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right| \\
& x_{2_{o}}=-\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right| \\
& , \cdots, x_{n_{o}}=(-1)^{n+1}\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1}
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$
且若 $\displaystyle \mathbf{X}_{0} \neq 0$ ，则方程组的任一解可以表示为 $\displaystyle k \mathbf{X}_{0}$ ，其中 $k$ 为常数．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义系数矩阵和构造行列式
设系数矩阵 $A = (a_{ij})_{(n-1)\times n}$，则方程组为 $A\mathbf{x}=0$。构造 $n$ 阶行列式 $D_i$（$i=1,\dots,n$）如下：
$$D_i = \begin{vmatrix}
a_{11} & \cdots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n} \\
\vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,1} & \cdots & a_{n-1,i-1} & a_{n-1,i+1} & \cdots & a_{n-1,n} \\
e_1 & \cdots & e_{i-1} & e_{i+1} & \cdots & e_n
\end{vmatrix}$$
其中 $e_j$ 是第 $j$ 个标准基向量（最后一行是 $n$ 维行向量，第 $j$ 个分量为1，其余为0）。
公式：D_i = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1,i-1} & a_{1,i+1} & \cdots & a_{1n} \\ \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1,1} & \cdots & a_{n-1,i-1} & a_{n-1,i+1} & \cdots & a_{n-1,n} \\ e_1 & \cdots & e_{i-1} & e_{i+1} & \cdots & e_n \end{vmatrix}
提示：注意最后一行是标准基向量，且去掉第i列。
步骤 2/6
目标：将行列式与题目中的表达式联系起来
按最后一行展开 $D_i$，得到 $D_i = (-1)^{n+i} x_{i0}$，其中 $x_{i0}$ 是题目中定义的。具体地，$x_{10} = D_1$，$x_{20} = -D_2$，$x_{30} = D_3$，等等，符号由 $(-1)^{n+i}$ 决定。
公式：D_i = (-1)^{n+i} x_{i0}
提示：注意符号：$x_{i0}$ 的符号与 $D_i$ 的代数余子式有关。
步骤 3/6
目标：验证 $\mathbf{X}_0$ 满足第一个方程
考虑 $A$ 的第一行与 $\mathbf{X}_0$ 的点积：
$$\sum_{j=1}^n a_{1j} x_{j0} = \sum_{j=1}^n a_{1j} (-1)^{n+j} D_j$$
这个和可以看作一个 $n$ 阶行列式，其前 $n-1$ 行是 $A$ 的行，最后一行是 $(a_{11}, a_{12}, \dots, a_{1n})$。由于最后一行与第一行相同，行列式为0，故 $\sum_{j=1}^n a_{1j} x_{j0}=0$。
公式：\sum_{j=1}^n a_{1j} (-1)^{n+j} D_j = \begin{vmatrix} a_{11} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1,1} & \cdots & a_{n-1,n} \\ a_{11} & \cdots & a_{1n} \end{vmatrix} = 0
提示：注意行列式有两行相同，值为0。
步骤 4/6
目标：验证 $\mathbf{X}_0$ 满足所有方程
类似地，对于第 $k$ 行（$k=1,\dots,n-1$），有
$$\sum_{j=1}^n a_{kj} x_{j0} = \sum_{j=1}^n a_{kj} (-1)^{n+j} D_j$$
这个和等于一个 $n$ 阶行列式，其前 $n-1$ 行是 $A$ 的行，最后一行是 $(a_{k1}, a_{k2}, \dots, a_{kn})$。由于最后一行与第 $k$ 行相同，行列式为0，故 $\sum_{j=1}^n a_{kj} x_{j0}=0$。因此 $\mathbf{X}_0$ 是方程组的解。
公式：\sum_{j=1}^n a_{kj} (-1)^{n+j} D_j = 0
提示：注意第k行与最后一行相同，行列式为零。
步骤 5/6
目标：讨论 $\mathbf{X}_0 \neq 0$ 时解的结构
若 $\mathbf{X}_0 \neq 0$，则方程组有非零解。由于方程组有 $n-1$ 个方程，$n$ 个未知数，系数矩阵 $A$ 的秩不超过 $n-1$。又因为存在非零解，秩恰好为 $n-1$（否则若秩小于 $n-1$，则基础解系维数大于1，但这里我们只找到一个非零解，需要证明它生成整个解空间）。实际上，由 $\mathbf{X}_0 \neq 0$ 可知 $A$ 的秩为 $n-1$，因此基础解系只含一个向量，即所有解可表示为 $k\mathbf{X}_0$，其中 $k$ 为常数。
提示：注意：需要说明秩为n-1，否则解空间维数可能大于1。
步骤 6/6
目标：总结结论
因此，$\mathbf{X}_0 = (x_{10}, x_{20}, \dots, x_{n0})^T$ 是方程组的解，且当 $\mathbf{X}_0 \neq 0$ 时，方程组的任一解可表示为 $k\mathbf{X}_0$，其中 $k$ 为常数。
提示：注意：$\mathbf{X}_0$ 可能为零向量，此时结论不成立。
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