📝 山东大学 2025年高等代数真题

1．（15 分）设齐次线性方程组 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}a_{11} x_{1}+a_{12} x_{2}+\cdots+a_{1 n} x_{n}=0 \\ a_{21} x_{1}+a_{22} x_{2}+\cdots+a_{2 n} x_{n}=0 \\ \cdots \quad \cdots \quad \cdots \quad \cdots \\ a_{n-1,1} x_{1}+a_{n-2,2} x_{2}+\cdots+a_{n-1, n} x_{n}=0\end{array}\right.$ ．
证明：$\displaystyle X_{0}=\left(x_{1_{o}}, x_{2_{o}}, \cdots, X_{n_{o}}\right)^{T}$ 为该方程组的解，其中

$$
\begin{aligned}
& x_{1_{o}}=\left|\begin{array}{cccc}
a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,2} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right| \\
& x_{2_{o}}=-\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{13} & \cdots & a_{1 n} \\
a_{21} & a_{23} & \cdots & a_{2 n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,3} & \cdots & a_{n-1, n}
\end{array}\right| \\
& , \cdots, x_{n_{o}}=(-1)^{n+1}\left|\begin{array}{cccc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1, n-1} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2, n-1} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{n-1,1} & a_{n-1,2} & \cdots & a_{n-1, n-1}
\end{array}\right|
\end{aligned}
$$

且若 $\displaystyle \mathbf{X}_{0} \neq 0$ ，则方程组的任一解可以表示为 $\displaystyle k \mathbf{X}_{0}$ ，其中 $k$ 为常数．

2、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶可逆反对称矩阵，$b$ 为 $n$ 维列向量，又设 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & b \\ b^{T} & 0\end{array}\right)$ ．
证明：
（1）$n$ 为偶数．
（2）矩阵 $B$ 的秩 $\displaystyle r(B)=n$ ．

3、（10 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶正定矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n} \times \mathbf{m}$ 实矩阵。证明：如果 $\displaystyle r(B)=m$ ，则 $m$ 阶实方阵 $\displaystyle B^{T} A B$ 为正定矩阵。

4、（15 分）证明：（1）若 $\displaystyle |A|=1$ ，则 $A$ 为正交矩阵 $\displaystyle \Leftrightarrow A$ 的每个元素都等于该元素的代数余子式．
（2）若 $\displaystyle |\mathbf{A}|=-1$ ，则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为正交矩阵 $\displaystyle \Leftrightarrow \mathbf{A}$ 的每个元素都等于该元素的代数余子式乘以 $\displaystyle (-1)$ ．

5、（15 分）设 $\displaystyle A, B, C, D$ 为具有相同特征多项式的三阶复方阵，证明：
$\displaystyle \mathbf{A}, \mathbf{B}, \mathbf{C}, \mathbf{D}$ 中必有两个矩阵相似．

6、（20 分）设 $W$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的非零子空间，$\displaystyle \sigma$ 是数域 $F$上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma(W)$ 与 $\displaystyle \sigma^{-1}(W)$ 分别表示 $W$ 中全体的像与原像构成的子空间，证明：
（1） $\displaystyle \operatorname{dim}(\sigma(W))+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma \cap W)=\operatorname{dim}(W)$ ．
（2）若 $\displaystyle W \subseteq \operatorname{Im} \sigma$ ，则

$$
\operatorname{dim}(W) \leq \operatorname{dim}\left(\sigma^{-1}(W)\right) \leq \operatorname{dim}(W)+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma) .
$$

## 2025 年山东大学常微分方程考研真题