山东大学 2025年高等代数第6题
📝 题目
6、（20 分）设 $W$ 是数域 $F$ 上的 $n$ 维线性空间 $V$ 的非零子空间，$\displaystyle \sigma$ 是数域 $F$上 $n$ 维线性空间 $V$ 的线性变换，$\displaystyle \sigma(W)$ 与 $\displaystyle \sigma^{-1}(W)$ 分别表示 $W$ 中全体的像与原像构成的子空间，证明：
（1） $\displaystyle \operatorname{dim}(\sigma(W))+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma \cap W)=\operatorname{dim}(W)$ ．
（2）若 $\displaystyle W \subseteq \operatorname{Im} \sigma$ ，则
$$
\operatorname{dim}(W) \leq \operatorname{dim}\left(\sigma^{-1}(W)\right) \leq \operatorname{dim}(W)+\operatorname{dim}(\operatorname{Ker} \sigma) .
$$
## 2025 年山东大学常微分方程考研真题
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明(1)：应用维数公式于限制映射
考虑线性变换 $\sigma$ 在子空间 $W$ 上的限制 $\sigma|_W: W \to V$。该限制的像为 $\sigma(W)$，核为 $\operatorname{Ker} \sigma \cap W$。由线性变换的维数公式（秩-零化度定理）得：
$$
\dim(W) = \dim(\operatorname{Im}(\sigma|_W)) + \dim(\operatorname{Ker}(\sigma|_W)) = \dim(\sigma(W)) + \dim(\operatorname{Ker} \sigma \cap W).
$$
公式：维数公式：$\dim(V) = \dim(\operatorname{Im} \tau) + \dim(\operatorname{Ker} \tau)$
提示：注意限制映射的核是 $\operatorname{Ker} \sigma \cap W$，而不是整个 $\operatorname{Ker} \sigma$。
步骤 2/4
目标：证明(2)：定义并分析 $\sigma^{-1}(W)$
定义 $\sigma^{-1}(W) = \{ v \in V \mid \sigma(v) \in W \}$，它是 $V$ 的子空间。考虑 $\sigma$ 在 $\sigma^{-1}(W)$ 上的限制 $\sigma|_{\sigma^{-1}(W)}: \sigma^{-1}(W) \to W$。由于 $W \subseteq \operatorname{Im} \sigma$，对任意 $w \in W$，存在 $v \in V$ 使得 $\sigma(v)=w$，且 $v \in \sigma^{-1}(W)$，因此该限制的像恰好是 $W$。
提示：验证像为 $W$ 时需用到条件 $W \subseteq \operatorname{Im} \sigma$。
步骤 3/4
目标：证明(2)：应用维数公式于限制映射
对限制映射 $\sigma|_{\sigma^{-1}(W)}$ 应用维数公式：
$$
\dim(\sigma^{-1}(W)) = \dim(\operatorname{Im}(\sigma|_{\sigma^{-1}(W)})) + \dim(\operatorname{Ker}(\sigma|_{\sigma^{-1}(W)})).
$$
其中 $\operatorname{Im}(\sigma|_{\sigma^{-1}(W)}) = W$，$\operatorname{Ker}(\sigma|_{\sigma^{-1}(W)}) = \operatorname{Ker} \sigma \cap \sigma^{-1}(W)$。由于 $\operatorname{Ker} \sigma \subseteq \sigma^{-1}(W)$（因为 $\sigma(0)=0 \in W$），所以 $\operatorname{Ker} \sigma \cap \sigma^{-1}(W) = \operatorname{Ker} \sigma$。因此
$$
\dim(\sigma^{-1}(W)) = \dim(W) + \dim(\operatorname{Ker} \sigma).
$$
公式：维数公式
提示：注意 $\operatorname{Ker} \sigma \subseteq \sigma^{-1}(W)$ 是因为 $0 \in W$，但需确认 $\operatorname{Ker} \sigma$ 中任意向量 $k$ 满足 $\sigma(k)=0 \in W$，故 $k \in \sigma^{-1}(W)$。
步骤 4/4
目标：证明(2)：得出不等式
由 $\dim(\sigma^{-1}(W)) = \dim(W) + \dim(\operatorname{Ker} \sigma)$，且维数非负，立即得到
$$
\dim(W) \leq \dim(\sigma^{-1}(W)) \leq \dim(W) + \dim(\operatorname{Ker} \sigma).
$$
等号成立时即为等式。
提示：注意不等式是显然的，因为 $\dim(\operatorname{Ker} \sigma) \geq 0$。
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