山东大学 2025年高等代数第5题

设三阶复方阵的特征多项式为 $f(\lambda) = \lambda^3 + a_2 \lambda^2 + a_1 \lambda + a_0$。由于是复方阵，特征多项式可分解为一次因式的乘积：$f(\lambda) = (\lambda - \lambda_1)(\lambda - \lambda_2)(\lambda - \lambda_3)$，其中 $\lambda_i \in \mathbb{C}$。

三阶复方阵的Jordan标准形由特征值及其代数重数和几何重数决定。由于特征多项式相同，特征值（计重数）相同。可能的Jordan标准形根据特征值相等的情况分为三类：三个互异、两个相等、三个全等。

若 $\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3$ 互不相同，则每个特征值的几何重数均为1，Jordan标准形为对角矩阵 $\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$，且唯一确定。因此所有矩阵都相似于同一个对角矩阵，从而彼此相似。

设 $\lambda_1 = \lambda_2 \neq \lambda_3$。特征值 $\lambda_1$ 的代数重数为2，几何重数可能为1或2。 - 若几何重数为2，则Jordan标准形为 $\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_1, \lambda_3)$。 - 若几何重数为1，则Jordan标准形为 $\begin{pmatrix} \lambda_1 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_3 \end{pmatrix}$。 因此最多有两种可能的Jordan标准形。由于有四个矩阵，由抽屉原理，必有两个矩阵的Jordan标准形相同，从而相似。

设 $\lambda_1 = \lambda_2 = \lambda_3 = \lambda$。特征值 $\lambda$ 的代数重数为3，几何重数可能为1、2或3。 - 几何重数为3：Jordan标准形为 $\lambda I$。 - 几何重数为2：Jordan标准形为 $\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 0 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$。 - 几何重数为1：Jordan标准形为 $\begin{pmatrix} \lambda & 1 & 0 \\ 0 & \lambda & 1 \\ 0 & 0 & \lambda \end{pmatrix}$。 因此最多有三种可能的Jordan标准形。由于有四个矩阵，由抽屉原理，必有两个矩阵的Jordan标准形相同，从而相似。

在所有情况下，可能的Jordan标准形种类数最多为3（情况三），而矩阵有4个，因此必有两个矩阵具有相同的Jordan标准形，从而它们相似。