山东大学 2025年高等代数第3题
📝 题目
3、（10 分）设 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n}$ 阶正定矩阵， $\displaystyle \mathbf{B}$ 为 $\displaystyle \mathbf{n} \times \mathbf{m}$ 实矩阵。证明：如果 $\displaystyle r(B)=m$ ，则 $m$ 阶实方阵 $\displaystyle B^{T} A B$ 为正定矩阵。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明对称性
由于 $\mathbf{A}$ 是正定矩阵，因此 $\mathbf{A}$ 是对称矩阵，即 $\mathbf{A}^T = \mathbf{A}$。计算 $(\mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B})^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T \mathbf{B} = \mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B}$，所以 $\mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B}$ 是对称矩阵。
公式：$(\mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B})^T = \mathbf{B}^T \mathbf{A}^T \mathbf{B}$
提示：注意正定矩阵必对称，这是正定矩阵的基本性质。
步骤 2/6
目标：考虑二次型
对任意非零向量 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^m$，考虑二次型 $\mathbf{x}^T (\mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B}) \mathbf{x} = (\mathbf{B} \mathbf{x})^T \mathbf{A} (\mathbf{B} \mathbf{x})$。
公式：$\mathbf{x}^T (\mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B}) \mathbf{x} = (\mathbf{B} \mathbf{x})^T \mathbf{A} (\mathbf{B} \mathbf{x})$
提示：注意二次型的展开要正确，利用矩阵乘法的结合律。
步骤 3/6
目标：利用A的正定性
由于 $\mathbf{A}$ 是正定矩阵，对任意非零向量 $\mathbf{y} \in \mathbb{R}^n$，有 $\mathbf{y}^T \mathbf{A} \mathbf{y} > 0$。这里令 $\mathbf{y} = \mathbf{B} \mathbf{x}$，则若 $\mathbf{B} \mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，有 $(\mathbf{B} \mathbf{x})^T \mathbf{A} (\mathbf{B} \mathbf{x}) > 0$。
公式：$\mathbf{y}^T \mathbf{A} \mathbf{y} > 0$ 对任意 $\mathbf{y} \neq \mathbf{0}$
提示：正定矩阵的定义：对任意非零向量，二次型大于零。
步骤 4/6
目标：利用B的列满秩性
因为 $r(\mathbf{B}) = m$，且 $\mathbf{B}$ 是 $n \times m$ 矩阵，所以 $\mathbf{B}$ 列满秩。这意味着齐次线性方程组 $\mathbf{B} \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 只有零解，即 $\mathbf{B} \mathbf{x} = \mathbf{0}$ 当且仅当 $\mathbf{x} = \mathbf{0}$。因此，对任意非零 $\mathbf{x}$，有 $\mathbf{B} \mathbf{x} \neq \mathbf{0}$。
公式：$r(\mathbf{B}) = m \Rightarrow \mathbf{B} \mathbf{x} = \mathbf{0} \iff \mathbf{x} = \mathbf{0}$
提示：列满秩矩阵的零空间只有零向量。
步骤 5/6
目标：综合得出正定性
由步骤3和4，对任意非零 $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^m$，$\mathbf{B} \mathbf{x} \neq \mathbf{0}$，从而 $(\mathbf{B} \mathbf{x})^T \mathbf{A} (\mathbf{B} \mathbf{x}) > 0$，即 $\mathbf{x}^T (\mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B}) \mathbf{x} > 0$。因此 $\mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B}$ 是正定矩阵。
提示：注意正定性要求对所有非零向量二次型大于零。
步骤 6/6
目标：总结结论
综上，$\mathbf{B}^T \mathbf{A} \mathbf{B}$ 是对称矩阵且正定，故为 $m$ 阶正定矩阵。
提示：证明完成，注意正定矩阵的两个条件：对称性和正定性。
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