山东大学 2025年高等代数第2题
📝 题目
2、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶可逆反对称矩阵，$b$ 为 $n$ 维列向量，又设 $\displaystyle B=\left(\begin{array}{cc}A & b \\ b^{T} & 0\end{array}\right)$ ．
证明：
（1）$n$ 为偶数．
（2）矩阵 $B$ 的秩 $\displaystyle r(B)=n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用反对称矩阵性质证明n为偶数
因为$A$是$n$阶可逆反对称矩阵，即$A^T = -A$，且$\det A \neq 0$。取行列式得$\det A = \det(A^T) = \det(-A) = (-1)^n \det A$，所以$(-1)^n = 1$，故$n$为偶数。
公式：\det(A^T) = \det A, \det(-A) = (-1)^n \det A
提示：注意行列式的性质：转置行列式不变，数乘行列式等于该数的$n$次方乘以原行列式。
步骤 2/5
目标：构造分块矩阵并利用初等变换求秩
考虑分块矩阵$B = \begin{pmatrix} A & b \\ b^T & 0 \end{pmatrix}$，其中$A$是$n \times n$可逆反对称矩阵，$b$是$n \times 1$列向量。由于$A$可逆，对$B$进行初等变换：将第一行左乘$-b^T A^{-1}$加到第二行，即第二行减去$b^T A^{-1}$乘以第一行，得到第二行变为$(b^T - b^T A^{-1} A, 0 - b^T A^{-1} b) = (0, -b^T A^{-1} b)$。因此$B$等价于$\begin{pmatrix} A & b \\ 0 & -b^T A^{-1} b \end{pmatrix}$。
公式：行变换：$R_2 \leftarrow R_2 - b^T A^{-1} R_1$
提示：注意行变换时左乘矩阵，且$A^{-1}$存在。
步骤 3/5
目标：分析秩的条件
由于$A$可逆，$r(A)=n$，所以$r(B) = n$当且仅当$-b^T A^{-1} b \neq 0$，否则$r(B)=n$（因为右下角元素为0时，秩仍为$n$）。实际上，若$-b^T A^{-1} b = 0$，则$B$的秩等于$A$的秩，即$n$；若不为0，则秩为$n+1$。下面证明$-b^T A^{-1} b = 0$。
公式：r(B) = r(A) + r(-b^T A^{-1} b)（其中标量视为1×1矩阵）
提示：注意分块矩阵的秩与子块秩的关系，但这里通过初等变换后，秩等于左上块秩加上右下块非零情况下的1。
步骤 4/5
目标：证明$b^T A^{-1} b = 0$
因为$A$是反对称矩阵，$A^{-1}$也是反对称矩阵：$(A^{-1})^T = (A^T)^{-1} = (-A)^{-1} = -A^{-1}$。于是$b^T A^{-1} b$是一个数，其转置等于自身：$b^T A^{-1} b = (b^T A^{-1} b)^T = b^T (A^{-1})^T b = -b^T A^{-1} b$，所以$2b^T A^{-1} b = 0$，即$b^T A^{-1} b = 0$。因此$-b^T A^{-1} b = 0$。
公式：(A^{-1})^T = -A^{-1}
提示：注意标量的转置等于自身，且反对称矩阵的逆也是反对称矩阵。
步骤 5/5
目标：得出结论
由$b^T A^{-1} b = 0$得$-b^T A^{-1} b = 0$，所以$r(B) = r(A) = n$。因此矩阵$B$的秩为$n$。
提示：注意秩的结论：初等变换不改变秩。
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