山东大学 2025年高等代数第4题
📝 题目
4、（15 分）证明：（1）若 $\displaystyle |A|=1$ ，则 $A$ 为正交矩阵 $\displaystyle \Leftrightarrow A$ 的每个元素都等于该元素的代数余子式．
（2）若 $\displaystyle |\mathbf{A}|=-1$ ，则 $\displaystyle \mathbf{A}$ 为正交矩阵 $\displaystyle \Leftrightarrow \mathbf{A}$ 的每个元素都等于该元素的代数余子式乘以 $\displaystyle (-1)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：理解正交矩阵与伴随矩阵的关系
正交矩阵满足 $A^T A = E$，且 $A^{-1} = A^T$。伴随矩阵 $A^*$ 满足 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*$。因此，当 $|A|=1$ 时，$A^{-1} = A^*$；当 $|A|=-1$ 时，$A^{-1} = -A^*$。
公式：A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^*
提示：注意伴随矩阵的定义：$(A^*)_{ij} = A_{ji}$，即第 $i$ 行第 $j$ 列元素是 $A$ 的第 $j$ 行第 $i$ 列的代数余子式。
步骤 2/6
目标：必要性证明（|A|=1）
设 $A$ 正交且 $|A|=1$，则 $A^{-1} = A^T$。由 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* = A^*$，得 $A^T = A^*$。即 $(A^T)_{ij} = (A^*)_{ij}$，故 $a_{ji} = A_{ji}$。交换下标 $i,j$ 得 $a_{ij} = A_{ij}$，即每个元素等于其代数余子式。
公式：A^T = A^*
提示：注意下标对应关系：$(A^T)_{ij} = a_{ji}$，$(A^*)_{ij} = A_{ji}$。
步骤 3/6
目标：充分性证明（|A|=1）
设 $a_{ij} = A_{ij}$，则 $(A^*)_{ij} = A_{ji} = a_{ji} = (A^T)_{ij}$，故 $A^* = A^T$。又 $|A|=1$，所以 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* = A^* = A^T$，从而 $A^T A = E$，$A$ 正交。
公式：A^{-1} = A^T
提示：充分性中，由 $a_{ij}=A_{ij}$ 推出 $A^*=A^T$ 是关键。
步骤 4/6
目标：必要性证明（|A|=-1）
设 $A$ 正交且 $|A|=-1$，则 $A^{-1} = A^T$。由 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* = -A^*$，得 $A^T = -A^*$。即 $(A^T)_{ij} = - (A^*)_{ij}$，故 $a_{ji} = -A_{ji}$。交换下标得 $a_{ij} = -A_{ij}$，即每个元素等于其代数余子式乘以 $-1$。
公式：A^T = -A^*
提示：注意负号的处理。
步骤 5/6
目标：充分性证明（|A|=-1）
设 $a_{ij} = -A_{ij}$，则 $(A^*)_{ij} = A_{ji} = -a_{ji} = - (A^T)_{ij}$，故 $A^* = -A^T$。又 $|A|=-1$，所以 $A^{-1} = \frac{1}{|A|} A^* = -A^* = A^T$，从而 $A^T A = E$，$A$ 正交。
公式：A^{-1} = A^T
提示：注意 $|A|=-1$ 时，$\frac{1}{|A|} = -1$。
步骤 6/6
目标：总结结论
综合以上，当 $|A|=1$ 时，$A$ 正交当且仅当每个元素等于其代数余子式；当 $|A|=-1$ 时，$A$ 正交当且仅当每个元素等于其代数余子式乘以 $-1$。
提示：注意两个情况的区别在于符号。
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