山西大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
一、计算 $n$ 阶行列式
$$
\left|\begin{array}{lcrcc}
x-a & a & a & \ldots & a \\
a & x-a & a & \ldots & a \\
a & a & a & & \\
a & a & \ldots & x-a
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将第2至第n行加到第1行
设行列式为 $D_n$。将第2行到第n行都加到第1行，第1行变为：
$$(x-a + (n-1)a, a + (x-a) + (n-2)a, \ldots, a + (x-a) + (n-2)a) = (x + (n-2)a, x + (n-2)a, \ldots, x + (n-2)a)$$
其余行不变。得到：
$$D_n = \begin{vmatrix}
x + (n-2)a & x + (n-2)a & \cdots & x + (n-2)a \\
a & x-a & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a & a & \cdots & x-a
\end{vmatrix}$$
提示：注意第1行每个元素相加后结果相同，都是 $x + (n-2)a$。
步骤 2/5
目标：提取第1行的公因子
第1行所有元素都有公因子 $x + (n-2)a$，将其提出行列式，得：
$$D_n = [x + (n-2)a] \begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
a & x-a & \cdots & a \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a & a & \cdots & x-a
\end{vmatrix}$$
公式：行列式提取公因子：若一行有公因子k，则k可提到行列式外。
提示：注意公因子是 $x + (n-2)a$，不是 $x + (n-1)a$。
步骤 3/5
目标：将第1行乘以 $-a$ 加到其余各行
将第1行乘以 $-a$ 后分别加到第2行到第n行。对于第i行（i≥2），新元素为：
- 第1列：$a + (-a)\times 1 = 0$
- 第j列（j≥2）：原元素 $a$（当i≠j时）或 $x-a$（当i=j时）减去 $a\times 1$，即：
- 当i≠j时：$a - a = 0$
- 当i=j时：$(x-a) - a = x-2a$
因此行列式变为：
$$D_n = [x + (n-2)a] \begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & x-2a & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & x-2a
\end{vmatrix}$$
公式：行列式行变换：将一行乘以常数加到另一行，行列式值不变。
提示：注意对角线元素变为 $x-2a$，而非 $x-a$。
步骤 4/5
目标：计算上三角行列式
得到的行列式是上三角行列式，其值等于对角线上元素的乘积。对角线上有1个1和 $n-1$ 个 $x-2a$，所以：
$$\begin{vmatrix}
1 & 1 & \cdots & 1 \\
0 & x-2a & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & x-2a
\end{vmatrix} = 1 \cdot (x-2a)^{n-1} = (x-2a)^{n-1}$$
公式：上三角行列式等于主对角线元素乘积。
提示：注意第一行第一列元素是1，不是 $x-2a$。
步骤 5/5
目标：得出最终结果
将上一步结果代入，得：
$$D_n = [x + (n-2)a] (x-2a)^{n-1}$$
提示：最终结果需检查n=1的情况：此时行列式为 $x-a$，公式给出 $[x + (1-2)a](x-2a)^{0} = (x-a)\cdot 1 = x-a$，正确。
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