📝 山西大学 2023年高等代数真题

一、计算 $n$ 阶行列式

$$
\left|\begin{array}{lcrcc}
x-a & a & a & \ldots & a \\
a & x-a & a & \ldots & a \\
a & a & a & & \\
a & a & \ldots & x-a
\end{array}\right|
$$

七、设 $\displaystyle A, B, C, D$ 为数域 $P$ 上的四个 3 阶矩阵，它们具有相同的特征多项式，证明 $\displaystyle A, B, C, D$ 中至少有两个矩阵相似。

三、（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}, \beta$ 是一个 n 维列向量组，且它的秩与 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$的秩相同，证明：$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性表出，且表示法唯一的充分必要条件为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性无关。

九、（20 分）设二次型 $\displaystyle \mathrm{f}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+\mathrm{t} x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+6 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2
（1）求 t 的值；
（2）用正交线性替换将此二次型化为标准形，并写出所用的正交线性替换。十、证明以下结论：
（1）设 A 为 n 阶实矩阵，证明 A 为反对称矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle \mathrm{A} A^{T}=-A^{2}$ ；
（2）设 $A$ 为正定阵，则存在正定矩阵使得 $\displaystyle A=B^{2}$ 。

二、（10 分）设 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是整系数多项式，且 $\displaystyle (\mathrm{a}+\mathrm{b}) \mathrm{c}$ 是奇数，则 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$在有理数域上不可约。

五、设 $\displaystyle \mathrm{A}=\left(\begin{array}{lll}2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2 \\ 2 & 2 & 2\end{array}\right)$ ，记 $\displaystyle \mathrm{C}(\mathrm{A})$ 为所有与 A 可交换的实矩阵全体，
（1）证明 $\displaystyle \mathrm{C}(\mathrm{A})$ 是线性空间 $\displaystyle R^{3 \times 3}$ 的一个子空间；
（2）求 $\displaystyle C(A)$ 的一组基与维数。

八、（10 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 是有限维线性空间 V 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明：$\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$当且仅当 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma(\mathrm{V})$ 与核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 都是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间。

六、求矩阵 $\displaystyle \mathrm{A}=\left(\begin{array}{cccc}3 & 1 & 0 & 0 \\ -4 & -1 & 0 & 0 \\ 7 & 1 & 2 & 1 \\ -7 & -6 & -1 & 0\end{array}\right)$ 的不变因子、初等因子、若尔当标准形和有理标准形。

四、设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2 ，且－2 是它的二重特征值，若 $\displaystyle (1,0,0)^{T},(2,1,1)^{T}$都是 $A$ 的属于特征值－ 2 的特征向量，求矩阵 $A$ 。