山西大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
八、（10 分）设 $\displaystyle \sigma, \tau$ 是有限维线性空间 V 上的线性变换，且 $\displaystyle \sigma^{2}=\sigma$ ，证明：$\displaystyle \sigma \tau=\tau \sigma$当且仅当 $\displaystyle \sigma$ 的值域 $\displaystyle \sigma(\mathrm{V})$ 与核 $\displaystyle \sigma^{-1}(0)$ 都是 $\displaystyle \tau$ 的不变子空间。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确已知条件和待证结论
设 $\sigma, \tau$ 是有限维线性空间 $V$ 上的线性变换，且 $\sigma^2 = \sigma$。记 $U = \sigma(V)$ 为值域，$W = \sigma^{-1}(0)$ 为核。需要证明：$\sigma\tau = \tau\sigma$ 当且仅当 $U$ 和 $W$ 都是 $\tau$ 的不变子空间。
公式：$\sigma^2 = \sigma$
提示：注意 $\sigma$ 是幂等变换，值域和核是直和分解 $V = U \oplus W$。
步骤 2/6
目标：证明必要性：由 $\sigma\tau = \tau\sigma$ 推出 $U$ 是 $\tau$ 的不变子空间
假设 $\sigma\tau = \tau\sigma$。任取 $u \in U$，则存在 $v \in V$ 使得 $u = \sigma(v)$。于是 $\tau(u) = \tau(\sigma(v)) = \sigma(\tau(v)) \in \sigma(V) = U$，故 $U$ 是 $\tau$ 的不变子空间。
公式：$\tau(u) = \tau(\sigma(v)) = \sigma(\tau(v))$
提示：注意利用 $\sigma\tau = \tau\sigma$ 交换顺序。
步骤 3/6
目标：证明必要性：由 $\sigma\tau = \tau\sigma$ 推出 $W$ 是 $\tau$ 的不变子空间
任取 $w \in W$，则 $\sigma(w)=0$。于是 $\sigma(\tau(w)) = \tau(\sigma(w)) = \tau(0) = 0$，故 $\tau(w) \in W$，所以 $W$ 也是 $\tau$ 的不变子空间。
公式：$\sigma(\tau(w)) = \tau(\sigma(w)) = 0$
提示：注意 $\tau(0)=0$。
步骤 4/6
目标：证明充分性：利用直和分解将任意向量分解
假设 $U$ 和 $W$ 都是 $\tau$ 的不变子空间。任取 $v \in V$，由于 $\sigma$ 是幂等变换，有 $v = \sigma(v) + (v - \sigma(v))$，其中 $\sigma(v) \in U$，$v - \sigma(v) \in W$（因为 $\sigma(v - \sigma(v)) = \sigma(v) - \sigma^2(v) = 0$）。
公式：$v = \sigma(v) + (v - \sigma(v))$
提示：注意 $\sigma^2 = \sigma$ 保证 $v - \sigma(v) \in W$。
步骤 5/6
目标：证明充分性：计算 $\sigma(\tau(v))$ 并化简
计算 $\sigma(\tau(v)) = \sigma(\tau(\sigma(v) + (v - \sigma(v)))) = \sigma(\tau(\sigma(v))) + \sigma(\tau(v - \sigma(v)))$。由于 $U$ 是 $\tau$ 的不变子空间，$\tau(\sigma(v)) \in U$；又因为 $\sigma$ 在 $U$ 上是恒等变换（对任意 $u \in U$，存在 $x$ 使 $u = \sigma(x)$，则 $\sigma(u) = \sigma^2(x) = \sigma(x) = u$），故 $\sigma(\tau(\sigma(v))) = \tau(\sigma(v))$。由于 $W$ 是 $\tau$ 的不变子空间，$\tau(v - \sigma(v)) \in W$，而 $\sigma$ 在 $W$ 上为零，故 $\sigma(\tau(v - \sigma(v))) = 0$。因此 $\sigma(\tau(v)) = \tau(\sigma(v))$。
公式：$\sigma(\tau(v)) = \tau(\sigma(v))$
提示：注意 $\sigma$ 在 $U$ 上是恒等映射，在 $W$ 上是零映射。
步骤 6/6
目标：由 $v$ 的任意性得到 $\sigma\tau = \tau\sigma$
由于 $v$ 是任意取的，所以对任意 $v \in V$ 都有 $\sigma(\tau(v)) = \tau(\sigma(v))$，即 $\sigma\tau = \tau\sigma$。充分性得证。
提示：注意线性变换相等的定义。
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