山西大学 2023年高等代数第0题

设 $f(\lambda)$ 是 $A, B, C, D$ 的共同特征多项式，次数为3。在数域 $P$ 上，$f(\lambda)$ 可分解为一次因式的乘积。根据Jordan标准形理论，每个3阶矩阵的Jordan标准形由特征多项式的根（特征值）及其代数重数和几何重数决定。由于特征多项式相同，特征值（包括重数）相同。

根据特征值的重数分布，分三种情况： 1. 三个互异特征值：此时Jordan标准形唯一，为对角矩阵 $\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3)$。 2. 一个三重特征值：几何重数可为1,2,3，对应三种Jordan标准形：$\lambda I$（几何重数3）、一个2阶Jordan块加一个1阶块（几何重数2）、一个3阶Jordan块（几何重数1）。 3. 一个二重特征值和一个单特征值：二重特征值的几何重数可为1或2，对应两种Jordan标准形：$\operatorname{diag}(\lambda_1, \lambda_1, \lambda_2)$（几何重数2）和 $\begin{pmatrix} \lambda_1 & 1 & 0 \\ 0 & \lambda_1 & 0 \\ 0 & 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$（几何重数1）。

情况1：1种；情况2：3种；情况3：2种。因此，对于给定的特征多项式，可能的Jordan标准形种类最多为 $1+3+2=6$ 种。但注意，当特征多项式有重根时，实际种类数更少：三重根时最多3种，二重根时最多2种，无重根时仅1种。

现有4个矩阵，它们具有相同的特征多项式。 - 若特征多项式无重根（三个互异特征值），则所有矩阵的Jordan标准形唯一，故它们两两相似，结论成立。 - 若特征多项式有一个三重根，则可能的Jordan标准形最多3种。4个矩阵分配到3种，由鸽巢原理，至少有两个矩阵的Jordan标准形相同，从而相似。 - 若特征多项式有一个二重根和一个单根，则可能的Jordan标准形最多2种。4个矩阵分配到2种，同样至少有两个相同，从而相似。 因此，无论如何，至少有两个矩阵相似。

综上所述，对于数域 $P$ 上的3阶矩阵 $A, B, C, D$，若它们具有相同的特征多项式，则它们中至少有两个矩阵相似。