山西大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
三、（20 分）设 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}, \beta$ 是一个 n 维列向量组，且它的秩与 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$的秩相同，证明：$\displaystyle \beta$ 可由 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性表出，且表示法唯一的充分必要条件为 $\displaystyle \alpha_{1}, \alpha_{2}, \ldots, \alpha_{s}$ 线性无关。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解已知条件
已知向量组 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s, \beta$ 的秩与 $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_s$ 的秩相同，记该秩为 $r$，即 $\operatorname{rank}(\alpha_1, \ldots, \alpha_s) = \operatorname{rank}(\alpha_1, \ldots, \alpha_s, \beta) = r$。
提示：注意秩相同意味着添加 $\beta$ 后秩不增加，这是后续推理的基础。
步骤 2/4
目标：必要性：假设表示法唯一，证明向量组线性无关
假设 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 线性表出且表示法唯一。用反证法：若 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 线性相关，则存在不全为零的系数 $k_1, \ldots, k_s$ 使得 $k_1\alpha_1 + \cdots + k_s\alpha_s = 0$。又因为 $\beta$ 可由 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 线性表出，设 $\beta = l_1\alpha_1 + \cdots + l_s\alpha_s$，则对任意实数 $t$，有 $\beta = (l_1 + t k_1)\alpha_1 + \cdots + (l_s + t k_s)\alpha_s$。由于 $k_i$ 不全为零，当 $t \neq 0$ 时，得到不同的表示法，与唯一性矛盾。故 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 线性无关。
公式：$k_1\alpha_1 + \cdots + k_s\alpha_s = 0$ 且 $k_i$ 不全为零
提示：反证法：假设线性相关，构造无穷多表示法，与唯一性矛盾。注意 $t$ 的任意性。
步骤 3/4
目标：充分性：假设向量组线性无关，证明表示法存在且唯一
假设 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 线性无关，则其秩为 $s$。由已知条件，$\operatorname{rank}(\alpha_1, \ldots, \alpha_s, \beta) = s$，因此 $\beta$ 必须能由 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 线性表出（否则秩会大于 $s$）。设 $\beta = x_1\alpha_1 + \cdots + x_s\alpha_s$。再假设有另一表示 $\beta = y_1\alpha_1 + \cdots + y_s\alpha_s$，两式相减得 $(x_1 - y_1)\alpha_1 + \cdots + (x_s - y_s)\alpha_s = 0$。由 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 线性无关得 $x_i = y_i$，故表示法唯一。
公式：$\operatorname{rank}(\alpha_1, \ldots, \alpha_s, \beta) = s$
提示：充分性中，先由秩相等推出 $\beta$ 可被表出，再证唯一性。注意秩相等是前提。
步骤 4/4
目标：总结结论
综上，$\beta$ 可由 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 线性表出且表示法唯一的充分必要条件是 $\alpha_1, \ldots, \alpha_s$ 线性无关。
提示：注意区分必要性和充分性的证明方向。
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