山西大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
四、设 3 阶实对称矩阵 A 的秩为 2 ，且－2 是它的二重特征值，若 $\displaystyle (1,0,0)^{T},(2,1,1)^{T}$都是 $A$ 的属于特征值－ 2 的特征向量，求矩阵 $A$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：确定特征值
由于 $A$ 是3阶实对称矩阵，秩为2，且 $-2$ 是二重特征值，所以 $A$ 的特征值为 $-2, -2, \lambda$。因为秩为2，所以 $\lambda = 0$（否则秩为3）。因此特征值为 $-2, -2, 0$。
提示：注意实对称矩阵的秩等于非零特征值的个数。
步骤 2/5
目标：求特征值0对应的特征向量
已知属于 $-2$ 的两个线性无关的特征向量为 $\alpha_1 = (1,0,0)^T$ 和 $\alpha_2 = (2,1,1)^T$。由于实对称矩阵不同特征值的特征向量正交，属于 $0$ 的特征向量与 $\alpha_1, \alpha_2$ 正交。设 $\beta = (x,y,z)^T$ 满足 $\beta \cdot \alpha_1 = 0$ 且 $\beta \cdot \alpha_2 = 0$，即
\[
\begin{cases}
x = 0 \\
2x + y + z = 0
\end{cases}
\]
解得 $x=0, y+z=0$，取 $y=1, z=-1$，得 $\beta = (0,1,-1)^T$。
公式：实对称矩阵不同特征值的特征向量正交
提示：解齐次线性方程组时，注意自由变量的选取，确保得到的向量与已知向量线性无关。
步骤 3/5
目标：构造可逆矩阵P
令 $P = [\alpha_1, \alpha_2, \beta] = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix}$，则 $P^{-1}AP = \Lambda = \operatorname{diag}(-2, -2, 0)$。
提示：注意特征向量的排列顺序要与对角矩阵中特征值的顺序一致。
步骤 4/5
目标：计算P的逆矩阵
计算 $P$ 的行列式：$\det(P) = 1 \cdot (1\cdot(-1) - 1\cdot1) = -2$。
伴随矩阵：
\[
P^* = \begin{pmatrix}
\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & -1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} \\
-\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} \\
\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix}
\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}
-2 & 2 & 2 \\
0 & -1 & -1 \\
0 & -1 & 1
\end{pmatrix}^T = \begin{pmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
2 & -1 & -1 \\
2 & -1 & 1
\end{pmatrix}.
\]
所以
\[
P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} P^* = -\frac{1}{2} \begin{pmatrix}
-2 & 0 & 0 \\
2 & -1 & -1 \\
2 & -1 & 1
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
-1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\
-1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2}
\end{pmatrix}.
\]
公式：$P^{-1} = \frac{1}{\det(P)} P^*$
提示：计算伴随矩阵时注意代数余子式的符号和转置。
步骤 5/5
目标：计算矩阵A
由 $A = P \Lambda P^{-1}$ 得
\[
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.
\]
先计算 $P \Lambda$：
\[
P \Lambda = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -2 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & -4 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix}.
\]
再乘以 $P^{-1}$：
\[
A = \begin{pmatrix} -2 & -4 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ -1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ -1 & \frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 & -2 & -2 \\
2 & -1 & -1 \\
2 & -1 & -1
\end{pmatrix}.
\]
公式：$A = P \Lambda P^{-1}$
提示：矩阵乘法注意顺序，先计算 $P \Lambda$ 再乘 $P^{-1}$，避免出错。
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