山西大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
二、（10 分）设 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})=x^{3}+a x^{2}+b x+c$ 是整系数多项式，且 $\displaystyle (\mathrm{a}+\mathrm{b}) \mathrm{c}$ 是奇数，则 $\displaystyle \mathrm{f}(\mathrm{x})$在有理数域上不可约。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：假设可约并推出有理根
假设 $f(x)$ 在有理数域上可约。由于 $f(x)$ 是三次整系数多项式，它必有一个一次因式，即存在有理根。由有理根定理，该有理根必为整数，设为 $m$，且 $m \mid c$。于是 $f(m)=m^3+am^2+bm+c=0$，即 $c = -m(m^2+am+b)$。
公式：有理根定理：若整系数多项式 $f(x)=a_nx^n+\cdots+a_0$ 有有理根 $p/q$（既约），则 $p\mid a_0$，$q\mid a_n$。
提示：注意三次多项式可约必有一次因式，因此必有有理根。
步骤 2/7
目标：由条件推出c为奇数
已知 $(a+b)c$ 是奇数，所以 $c$ 必须是奇数（因为若 $c$ 为偶数，则乘积为偶数，矛盾）。
提示：奇偶性：奇数×奇数=奇数，奇数×偶数=偶数。
步骤 3/7
目标：推出m为奇数
由 $c = -m(m^2+am+b)$ 且 $c$ 为奇数，可知 $m$ 必为奇数。因为若 $m$ 为偶数，则 $c$ 为偶数，矛盾。
提示：注意 $m$ 整除 $c$，但这里直接由表达式奇偶性判断更简单。
步骤 4/7
目标：分析m^2+am+b的奇偶性
由于 $m$ 是奇数，$m^2$ 是奇数。$am$ 与 $a$ 奇偶性相同（奇数乘奇数得奇数，奇数乘偶数得偶数），$bm$ 与 $b$ 奇偶性相同。因此 $m^2+am+b$ 的奇偶性与 $1+a+b$ 相同（因为 $m^2\equiv 1\pmod{2}$，$am\equiv a\pmod{2}$，$b\equiv b\pmod{2}$）。
提示：注意模2运算：奇数≡1 mod 2，偶数≡0 mod 2。
步骤 5/7
目标：由条件推出a+b为奇数
因为 $(a+b)c$ 是奇数且 $c$ 是奇数，所以 $a+b$ 必须是奇数。
提示：奇数除以奇数得奇数，但这里直接由乘积奇偶性得。
步骤 6/7
目标：推出矛盾
由 $a+b$ 为奇数，得 $1+a+b$ 为偶数。因此 $m^2+am+b$ 为偶数。于是 $c = -m \times \text{偶数}$ 为偶数，这与 $c$ 为奇数矛盾。
提示：注意偶数乘以任何整数仍为偶数。
步骤 7/7
目标：结论
假设不成立，故 $f(x)$ 在有理数域上不可约。
提示：反证法结束。
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