山西大学 2023年高等代数第0题
📝 题目
九、（20 分）设二次型 $\displaystyle \mathrm{f}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=5 x_{1}^{2}+5 x_{2}^{2}+\mathrm{t} x_{3}^{2}-2 x_{1} x_{2}+6 x_{1} x_{3}-6 x_{2} x_{3}$ 的秩为 2
（1）求 t 的值；
（2）用正交线性替换将此二次型化为标准形，并写出所用的正交线性替换。十、证明以下结论：
（1）设 A 为 n 阶实矩阵，证明 A 为反对称矩阵的充分必要条件是 $\displaystyle \mathrm{A} A^{T}=-A^{2}$ ；
（2）设 $A$ 为正定阵，则存在正定矩阵使得 $\displaystyle A=B^{2}$ 。
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=5x_1^2+5x_2^2+tx_3^2-2x_1x_2+6x_1x_3-6x_2x_3$ 的矩阵为对称矩阵 $A$，其中 $a_{ii}$ 为平方项系数，$a_{ij}$ 为交叉项系数的一半。因此：
$$A = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 3 \\ -1 & 5 & -3 \\ 3 & -3 & t \end{pmatrix}.$$
公式：二次型矩阵的构造规则
提示：注意交叉项系数要除以2，且矩阵对称。
步骤 2/7
目标：利用秩为2求t
秩为2意味着矩阵奇异，行列式为0。计算行列式：
$$\det(A) = \begin{vmatrix} 5 & -1 & 3 \\ -1 & 5 & -3 \\ 3 & -3 & t \end{vmatrix} = 5(5t-9) + 1(-t+9) + 3(3-15) = 24t - 72 = 0,$$
解得 $t=3$。
公式：行列式计算公式
提示：计算行列式时注意符号，避免代数错误。
步骤 3/7
目标：求特征值
当 $t=3$ 时，矩阵 $A = \begin{pmatrix} 5 & -1 & 3 \\ -1 & 5 & -3 \\ 3 & -3 & 3 \end{pmatrix}$。特征多项式为：
$$\det(\lambda I - A) = \begin{vmatrix} \lambda-5 & 1 & -3 \\ 1 & \lambda-5 & 3 \\ -3 & 3 & \lambda-3 \end{vmatrix} = 0.$$
计算得 $\lambda(\lambda-4)(\lambda-9)=0$，特征值 $\lambda_1=0, \lambda_2=4, \lambda_3=9$。
公式：特征多项式 $\det(\lambda I - A)=0$
提示：特征多项式因式分解时注意检查。
步骤 4/7
目标：求特征向量并单位化
对于 $\lambda=0$：解 $(0I-A)x=0$，得基础解系 $(1,1,0)^T$，单位化得 $p_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}(1,1,0)^T$。
对于 $\lambda=4$：解 $(4I-A)x=0$，得 $(1,-1,2)^T$，单位化 $p_2 = \frac{1}{\sqrt{6}}(1,-1,2)^T$。
对于 $\lambda=9$：解 $(9I-A)x=0$，得 $(1,-1,-1)^T$，单位化 $p_3 = \frac{1}{\sqrt{3}}(1,-1,-1)^T$。
公式：解齐次线性方程组 $(\lambda I - A)x=0$
提示：特征向量需正交，此处已自动正交，否则需施密特正交化。
步骤 5/7
目标：构造正交变换并写出标准形
正交矩阵 $Q = (p_1, p_2, p_3)$，正交线性替换 $x = Qy$，其中 $y=(y_1,y_2,y_3)^T$。标准形为 $\lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2 = 4y_2^2 + 9y_3^2$（$y_1$ 对应特征值0，系数为0）。
公式：正交变换 $x=Qy$ 化二次型为标准形 $\sum \lambda_i y_i^2$
提示：注意特征值0对应的项不出现。
步骤 6/7
目标：证明反对称矩阵的充要条件
必要性：若 $A$ 反对称，则 $A^T = -A$，故 $AA^T = A(-A) = -A^2$。
充分性：若 $AA^T = -A^2$，则 $AA^T + A^2 = 0$，即 $A(A^T + A)=0$。取转置得 $(A^T + A)A^T = 0$。两式相加得 $(A^T + A)(A^T + A)=0$，即 $(A^T + A)^2=0$。由于 $A^T+A$ 是实对称矩阵，平方为零则本身为零，故 $A^T = -A$。
公式：反对称矩阵定义 $A^T = -A$
提示：注意利用实对称矩阵平方为零则本身为零的性质。
步骤 7/7
目标：证明正定矩阵存在平方根
因为 $A$ 正定，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda = \operatorname{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$，其中 $\lambda_i > 0$。令 $\Sigma = \operatorname{diag}(\sqrt{\lambda_1}, \ldots, \sqrt{\lambda_n})$，则 $\Lambda = \Sigma^2$。于是 $A = Q \Sigma^2 Q^T = (Q \Sigma Q^T)^2$。令 $B = Q \Sigma Q^T$，则 $B$ 正定且 $A = B^2$。
公式：正定矩阵可正交对角化
提示：注意 $B$ 的正定性：特征值为正且对称。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。