山西大学 2023年高等代数第0题

设$B,C \in C(A)$，则$AB=BA$，$AC=CA$。对任意实数$k$，有$A(B+C)=AB+AC=BA+CA=(B+C)A$，故$B+C \in C(A)$；$A(kB)=kAB=kBA=(kB)A$，故$kB \in C(A)$。且零矩阵$O$满足$AO=OA$，故$O \in C(A)$。因此$C(A)$是$R^{3\times 3}$的子空间。

由于$A=2J$，其中$J$为全1矩阵，则$AB=BA$等价于$JB=BJ$。设$B=(b_{ij})_{3\times 3}$，计算$JB$的第$i$行第$j$列元素为$\sum_{k=1}^3 b_{kj}$，$BJ$的第$i$行第$j$列元素为$\sum_{k=1}^3 b_{ik}$。故$JB=BJ$等价于对所有$i,j$有$\sum_{k=1}^3 b_{kj} = \sum_{k=1}^3 b_{ik}$。这意味着所有行和相等且所有列和相等，且行和等于列和。

设行和为$r$，则每行元素之和为$r$，每列元素之和也为$r$。由$JB=BJ$得： \[ \begin{pmatrix} a+b+c & d+e+f & g+h+i \\ a+b+c & d+e+f & g+h+i \\ a+b+c & d+e+f & g+h+i \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a+d+g & b+e+h & c+f+i \\ a+d+g & b+e+h & c+f+i \\ a+d+g & b+e+h & c+f+i \end{pmatrix}. \] 比较得：$a+b+c = a+d+g$，$d+e+f = b+e+h$，$g+h+i = c+f+i$，且$a+b+c = d+e+f = g+h+i$。

由$a+b+c = a+d+g$得$b+c = d+g$；由$d+e+f = b+e+h$得$d+f = b+h$；由$g+h+i = c+f+i$得$g+h = c+f$。结合行和相等$a+b+c = d+e+f$，代入$d+g = b+c$得$a+b+c = b+e+c$，故$a=e$。同理，由$a+b+c = g+h+i$得$a+b+c = c+f+i$，结合$g+h = c+f$得$a+b+c = c+f+i$，又$g+h = c+f$，故$a=i$。因此$B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & a & f \\ c & f & a \end{pmatrix}$。再由$a+b+c = b+a+f$得$c=f$，所以$B = \begin{pmatrix} a & b & c \\ b & a & c \\ c & c & a \end{pmatrix}$。最后，由$a+b+c = c+c+a$得$b=c$。故$B = \begin{pmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{pmatrix}$。

由$B = \begin{pmatrix} a & b & b \\ b & a & b \\ b & b & a \end{pmatrix} = aI + b(J-I)$，其中$I$为单位矩阵，$J$为全1矩阵。因此$C(A)$中任意矩阵可表示为$aI + bJ$（因为$J-I$与$J$线性相关，实际上$J-I = J - I$，但$I$和$J$线性无关）。故$C(A)$的一组基为$\{I, J\}$，维数为2。即基为$\left\{ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} \right\}$。