山西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
一、（ 15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，若 $\displaystyle f(0)$ 与 $\displaystyle f(1)$ 都是奇数，求证：$\displaystyle f(x)$ 无整数根。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：设多项式并分析已知条件
设 $f(x) = a_n x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_1 x + a_0$ 是整系数多项式，其中 $a_i \in \mathbb{Z}$。已知 $f(0) = a_0$ 是奇数，$f(1) = \sum_{i=0}^n a_i$ 是奇数。
提示：注意整系数多项式的定义，所有系数为整数。
步骤 2/5
目标：反设存在整数根
假设 $f(x)$ 有整数根 $m$，即 $f(m) = 0$。
提示：反证法假设存在整数根。
步骤 3/5
目标：分情况讨论：m为偶数
若 $m$ 是偶数，则 $m \equiv 0 \pmod{2}$。计算 $f(m)$ 模2：$f(m) \equiv a_n \cdot 0^n + a_{n-1} \cdot 0^{n-1} + \cdots + a_1 \cdot 0 + a_0 \equiv a_0 \pmod{2}$。由于 $a_0$ 是奇数，所以 $f(m) \equiv 1 \pmod{2}$，与 $f(m)=0$ 矛盾。
公式：f(m) ≡ a_0 (mod 2)
提示：偶数代入后，除常数项外各项均为偶数，模2后只剩常数项。
步骤 4/5
目标：分情况讨论：m为奇数
若 $m$ 是奇数，则 $m \equiv 1 \pmod{2}$。计算 $f(m)$ 模2：$f(m) \equiv a_n \cdot 1^n + a_{n-1} \cdot 1^{n-1} + \cdots + a_1 \cdot 1 + a_0 \equiv \sum_{i=0}^n a_i \equiv f(1) \pmod{2}$。由于 $f(1)$ 是奇数，所以 $f(m) \equiv 1 \pmod{2}$，也与 $f(m)=0$ 矛盾。
公式：f(m) ≡ f(1) (mod 2)
提示：奇数代入后，x的幂次模2均为1，所以f(m)模2等于系数和模2。
步骤 5/5
目标：得出结论
因此，假设不成立，$f(x)$ 无整数根。
提示：反证法完成，结论成立。
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