📝 山西大学 2024年高等代数真题

一、（ 15 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是整系数多项式，若 $\displaystyle f(0)$ 与 $\displaystyle f(1)$ 都是奇数，求证：$\displaystyle f(x)$ 无整数根。

七、（15 分）设 A ， B 都是正交矩阵，且 $\displaystyle |A|=|B|$ ，则 $\displaystyle |A+\mathrm{B}|=0$ ．

三、（15 分）计算下面行列式

$$
\left|\begin{array}{ccccccc}
1 & x_{1} & x_{1}{ }^{2} & x_{1}{ }^{3} & \ldots & x_{1}{ }^{n-2} & x_{1}{ }^{n} \\
1 & x_{2} & x_{2}{ }^{2} & x_{2}{ }^{3} & \ldots & x_{2}{ }^{n-2} & x_{2}{ }^{n} \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \ldots & \cdot & \cdot \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & \cdot \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & \cdot \\
1 & x_{n-1} & x_{n-1}{ }^{2} & x_{n-1}{ }^{3} & \ldots & x_{n-1}{ }^{n-2} & x_{n-1}{ }^{n} \\
1 & x_{n} & x_{n}{ }^{2} & x_{n}{ }^{3} & \ldots & x_{n}{ }^{n-2} & x_{n}{ }^{n}
\end{array}\right|
$$

九、（15 分）求一个正交线性替换将实二次型 $\displaystyle \mathrm{f}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}{ }^{2}+5 x_{2}{ }^{2}+5 x_{3}{ }^{2}+ 4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}$ 化为标准形．

二、（15分）求有理数域上所有 3 阶方阵 $\displaystyle \left(a_{i j}\right)_{3 * 3}$ ，其中 $\displaystyle a_{i j} \in\{0,1\}, 1 \leqslant \mathrm{i}, \mathrm{j} \leqslant 3$ ，行列式的最大值。

五、（15 分）设 $\displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}$ 为数域 P 上的 n 阶方阵，且秩（ A ）＝秩（ BA ），证明对任意的 $\displaystyle \mathrm{l} \geq 1$ ，有秩 $\displaystyle \left(\mathrm{A}^{l}\right)=$ 秩 $\displaystyle \left(\mathrm{BA}^{l}\right)$ ．

八、（15 分）设 A 是 n 阶实方阵，满足 $\displaystyle \mathrm{A}^{2}=\mathrm{A}^{-1}$ ，求 A 的所有可能特征值。

六、（15分）设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个线性变换，满足 $\displaystyle \alpha+\beta=\varepsilon, \alpha \beta =\beta d=0$ ，这里 $\displaystyle \varepsilon, 0$ 分别为单位变换和零变换。证明：
（1） $\displaystyle \mathrm{V}=\alpha \mathrm{V} \oplus \beta \mathrm{V}$ ，
（2）$\displaystyle \alpha V=\beta^{-1}(0)$ ．
这里 $\displaystyle \alpha V, \beta V$ 分别表示 $\displaystyle \alpha, \beta$ 的值域，$\displaystyle \beta^{-1}(0)$ 表示 $\displaystyle \beta$ 的核。

十、（15 分）设 A 是 n 阶实对称矩阵， E 是 n 阶单位阵，证明：
（1）如果 A 正定，则 A 的特征值全大于零。
（2）如果 A 是正定且正交的矩阵，证明 $\displaystyle \mathrm{A}=\mathrm{E}$ ．

四、（15 分）证明 $\displaystyle \operatorname{mxn}$ 矩阵 $A$ 的秩为 $r$ 的充要条件是 $A$ 有分解式 $\displaystyle A=\alpha_{1} \beta_{1}{ }^{T}+\alpha_{2} \beta_{2}{ }^{T}+ \ldots+\mathrm{a}_{r} \beta_{r}{ }^{T}$ ，其中 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{r}$ 分别是线性无关的 m 维和 n 维列向量。