山西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
三、（15 分）计算下面行列式
$$
\left|\begin{array}{ccccccc}
1 & x_{1} & x_{1}{ }^{2} & x_{1}{ }^{3} & \ldots & x_{1}{ }^{n-2} & x_{1}{ }^{n} \\
1 & x_{2} & x_{2}{ }^{2} & x_{2}{ }^{3} & \ldots & x_{2}{ }^{n-2} & x_{2}{ }^{n} \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \ldots & \cdot & \cdot \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & \cdot \\
\cdot & \cdot & \cdot & \cdot & \cdots & \cdot & \cdot \\
1 & x_{n-1} & x_{n-1}{ }^{2} & x_{n-1}{ }^{3} & \ldots & x_{n-1}{ }^{n-2} & x_{n-1}{ }^{n} \\
1 & x_{n} & x_{n}{ }^{2} & x_{n}{ }^{3} & \ldots & x_{n}{ }^{n-2} & x_{n}{ }^{n}
\end{array}\right|
$$
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：识别行列式结构
观察行列式，它类似于范德蒙德行列式，但缺少 $x_i^{n-1}$ 列，而最后一列是 $x_i^n$。因此，这是一个变体范德蒙德行列式。
提示：注意列的顺序：第一列全1，第二列 $x_i$，...，第 $n-1$ 列 $x_i^{n-2}$，第 $n$ 列 $x_i^n$，缺少 $x_i^{n-1}$ 列。
步骤 2/7
目标：构造辅助函数和更高阶范德蒙德行列式
考虑 $n+1$ 阶范德蒙德行列式 $V_{n+1}$，其元素为 $1, x_i, \dots, x_i^{n-1}, x_i^n$，最后一行用变量 $t$ 代替 $x_{n+1}$：
$$V_{n+1} = \begin{vmatrix}
1 & x_1 & \cdots & x_1^{n-1} & x_1^n \\
1 & x_2 & \cdots & x_2^{n-1} & x_2^n \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\
1 & x_n & \cdots & x_n^{n-1} & x_n^n \\
1 & t & \cdots & t^{n-1} & t^n
\end{vmatrix}.$$
由范德蒙德行列式公式，
$$V_{n+1} = \prod_{1 \le i < j \le n} (x_j - x_i) \prod_{i=1}^n (t - x_i).$$
公式：范德蒙德行列式公式：$\det(\alpha_i^{j-1}) = \prod_{1 \le i < j \le n} (\alpha_j - \alpha_i)$
提示：注意最后一行是 $t$ 的幂，与前面 $x_i$ 区分。
步骤 3/7
目标：按最后一行展开 $V_{n+1}$
将 $V_{n+1}$ 按最后一行展开，得到关于 $t$ 的多项式：
$$V_{n+1} = \sum_{k=0}^n (-1)^{(n+1)+(k+1)} t^k M_{n+1,k+1} = \sum_{k=0}^n (-1)^{n+k} t^k M_{n+1,k+1},$$
其中 $M_{n+1,k+1}$ 是去掉最后一行和第 $k+1$ 列后的余子式。特别地，$t^{n-1}$ 的系数对应 $k=n-1$，即 $(-1)^{n+(n-1)} M_{n+1,n} = (-1)^{2n-1} M_{n+1,n} = -M_{n+1,n}$。
公式：行列式按行展开公式
提示：注意符号：$(-1)^{行号+列号}$，行号 $n+1$，列号 $k+1$。
步骤 4/7
目标：识别余子式 $M_{n+1,n}$ 与原行列式的关系
余子式 $M_{n+1,n}$ 是去掉最后一行和第 $n$ 列（即 $t^{n-1}$ 对应的列）后的子式。该子式的列依次为：第1列（$1$），第2列（$x_i$），...，第 $n-1$ 列（$x_i^{n-2}$），第 $n+1$ 列（$x_i^n$）。这正是题目中的行列式 $D_n$。因此 $M_{n+1,n} = D_n$。
提示：注意原行列式缺少 $x_i^{n-1}$ 列，而这里去掉的正是 $t^{n-1}$ 列，所以对应。
步骤 5/7
目标：提取 $V_{n+1}$ 中 $t^{n-1}$ 的系数
由 $V_{n+1} = \prod_{1\le i
公式：多项式展开：$\prod_{i=1}^n (t-x_i) = t^n - (\sum x_i) t^{n-1} + \cdots + (-1)^n \prod x_i$
提示：注意符号：$t^{n-1}$ 系数是 $-\sigma_1$。
步骤 6/7
目标：建立等式求解 $D_n$
由展开得到的 $t^{n-1}$ 系数为 $-D_n$，而由乘积形式得到的系数为 $\prod_{1\le i
提示：注意等式两边负号的处理。
步骤 7/7
目标：写出最终结果
将 $\sigma_1 = \sum_{i=1}^n x_i$ 代入，得到原行列式的值为
$$\boxed{\left(\sum_{i=1}^n x_i\right) \prod_{1\le i
提示：结果可视为范德蒙德行列式乘以所有 $x_i$ 的和。
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