山西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
七、（15 分）设 A ， B 都是正交矩阵，且 $\displaystyle |A|=|B|$ ，则 $\displaystyle |A+\mathrm{B}|=0$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用正交矩阵性质变形
由于 $A$ 和 $B$ 都是正交矩阵，有 $A^T A = I$，$B^T B = I$，且 $A^{-1} = A^T$。考虑行列式 $|A+B|$，提取公因子 $A$：
$$|A+B| = |A(I + A^{-1}B)| = |A| \cdot |I + A^{-1}B| = |A| \cdot |I + A^T B|.$$
公式：|A+B| = |A| \cdot |I + A^T B|
提示：注意 $A^{-1} = A^T$ 仅对正交矩阵成立。
步骤 2/5
目标：引入新矩阵并分析其性质
令 $C = A^T B$，则 $C$ 是正交矩阵，因为 $C^T C = (A^T B)^T (A^T B) = B^T A A^T B = B^T B = I$。且 $|C| = |A^T| \cdot |B| = |A| \cdot |B|$。由条件 $|A| = |B|$，得 $|C| = |A|^2 = 1$（因为 $|A| = \pm 1$，平方为1）。
公式：|C| = |A|^2 = 1
提示：正交矩阵的行列式只能为 $\pm 1$。
步骤 3/5
目标：分析 $|I+C|$ 的特征值条件
由于 $C$ 是正交矩阵，其特征值模长为1。若 $C$ 有特征值 $-1$，则 $I+C$ 有特征值 $0$，从而 $|I+C|=0$。但 $|C|=1$ 时，$-1$ 不一定出现。例如，$C=I$ 时特征值全为1，$|I+C|=2^n \neq 0$。因此，仅由 $|A|=|B|$ 不能推出 $|A+B|=0$。
提示：注意特征值 $-1$ 的存在性依赖于 $C$ 的具体形式。
步骤 4/5
目标：给出反例说明原题条件不足
取 $A = I$，$B = I$，则 $A$ 和 $B$ 都是正交矩阵，且 $|A| = |B| = 1$。计算 $|A+B| = |2I| = 2^n \neq 0$。因此，原题结论不成立。
提示：反例是验证命题正确性的重要方法。
步骤 5/5
目标：指出常见正确结论
常见正确结论是：若 $A$ 和 $B$ 是正交矩阵且 $|A| = -|B|$，则 $|A+B| = 0$。证明：此时 $|C| = |A^T B| = |A||B| = -1$，故 $C$ 有特征值 $-1$，从而 $|I+C|=0$，即 $|A+B|=0$。
公式：|A+B| = |A| \cdot |I + A^T B|
提示：注意条件 $|A| = -|B|$ 与 $|A| = |B|$ 的区别。
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