山西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
五、（15 分）设 $\displaystyle \mathrm{A}, \mathrm{B}$ 为数域 P 上的 n 阶方阵，且秩（ A ）＝秩（ BA ），证明对任意的 $\displaystyle \mathrm{l} \geq 1$ ，有秩 $\displaystyle \left(\mathrm{A}^{l}\right)=$ 秩 $\displaystyle \left(\mathrm{BA}^{l}\right)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：由已知条件得出秩相等
已知 $\operatorname{rank}(A) = \operatorname{rank}(BA)$。由秩不等式，$\operatorname{rank}(BA) \leq \operatorname{rank}(A)$，结合已知得 $\operatorname{rank}(BA) = \operatorname{rank}(A)$。
公式：$\operatorname{rank}(BA) \leq \operatorname{rank}(A)$
提示：注意秩不等式方向，不要写反。
步骤 2/6
目标：转化为线性变换的语言
设 $V$ 是 $n$ 维向量空间，$A, B$ 视为 $V$ 上的线性变换。则 $\operatorname{rank}(A) = \dim \operatorname{Im}(A)$，$\operatorname{rank}(BA) = \dim \operatorname{Im}(BA)$。
公式：$\operatorname{rank}(A) = \dim \operatorname{Im}(A)$
提示：明确线性变换与矩阵的对应关系。
步骤 3/6
目标：推导B在Im(A)上单射
由于 $\operatorname{Im}(BA) = B(\operatorname{Im}(A))$，且 $\dim \operatorname{Im}(BA) = \dim \operatorname{Im}(A)$，故 $B$ 限制在 $\operatorname{Im}(A)$ 上是单射（因为像空间维数等于原空间维数）。即 $B|_{\operatorname{Im}(A)} : \operatorname{Im}(A) \to V$ 是单射。
公式：$\dim B(\operatorname{Im}(A)) = \dim \operatorname{Im}(A) \Rightarrow B|_{\operatorname{Im}(A)}$ 单射
提示：单射等价于核为零，注意维数相等是充分必要条件。
步骤 4/6
目标：考虑A^l和BA^l的像空间
对任意 $l \geq 1$，有 $\operatorname{Im}(A^l) \subseteq \operatorname{Im}(A)$，且 $\operatorname{Im}(BA^l) = B(\operatorname{Im}(A^l))$。
公式：$\operatorname{Im}(A^l) \subseteq \operatorname{Im}(A)$
提示：注意A^l的像包含在A的像中，因为A^l = A^{l-1}A。
步骤 5/6
目标：利用单射性得到维数相等
由于 $B$ 在 $\operatorname{Im}(A)$ 上单射，故 $B$ 在子空间 $\operatorname{Im}(A^l)$ 上也单射，因此 $\dim B(\operatorname{Im}(A^l)) = \dim \operatorname{Im}(A^l)$，即 $\operatorname{rank}(BA^l) = \operatorname{rank}(A^l)$。
公式：$\dim B(\operatorname{Im}(A^l)) = \dim \operatorname{Im}(A^l)$
提示：单射保持维数，但注意这里B限制在子空间上，需验证子空间包含在Im(A)中。
步骤 6/6
目标：结论
因此，对任意 $l \geq 1$，有 $\operatorname{rank}(A^l) = \operatorname{rank}(BA^l)$。
提示：结论已证毕。
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