山西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
九、（15 分）求一个正交线性替换将实二次型 $\displaystyle \mathrm{f}\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=2 x_{1}{ }^{2}+5 x_{2}{ }^{2}+5 x_{3}{ }^{2}+ 4 x_{1} x_{2}-4 x_{1} x_{3}-8 x_{2} x_{3}$ 化为标准形．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：写出二次型的矩阵
二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=2x_1^2+5x_2^2+5x_3^2+4x_1x_2-4x_1x_3-8x_2x_3$ 的矩阵为 $A=\begin{pmatrix} 2 & 2 & -2 \\ 2 & 5 & -4 \\ -2 & -4 & 5 \end{pmatrix}$。
提示：注意交叉项系数要平分到对称位置，即 $a_{ij}=a_{ji}$ 等于交叉项系数的一半。
步骤 2/7
目标：求特征值
解特征方程 $|\lambda E-A|=0$：
$$\begin{vmatrix} \lambda-2 & -2 & 2 \\ -2 & \lambda-5 & 4 \\ 2 & 4 & \lambda-5 \end{vmatrix}=0.$$
计算行列式：
$$(\lambda-2)[(\lambda-5)^2-16]-(-2)[-2(\lambda-5)-8]+2[-8-2(\lambda-5)]=0.$$
化简得 $(\lambda-2)(\lambda^2-10\lambda+9)+2(-2\lambda+10-8)+2(-8-2\lambda+10)=0$，即 $(\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda-9)+2(-2\lambda+2)+2(-2\lambda+2)=0$，进一步得 $(\lambda-2)(\lambda-1)(\lambda-9)-8(\lambda-1)=0$，即 $(\lambda-1)[(\lambda-2)(\lambda-9)-8]=0$，即 $(\lambda-1)(\lambda^2-11\lambda+10)=0$，即 $(\lambda-1)^2(\lambda-10)=0$。
故特征值为 $\lambda_1=1$（二重），$\lambda_2=10$。
公式：$|\lambda E-A|=0$
提示：计算行列式时注意符号，可先化简再展开，避免出错。
步骤 3/7
目标：求特征值1的特征向量
对于 $\lambda=1$，解 $(E-A)\boldsymbol{x}=0$：
$$\begin{pmatrix} -1 & -2 & 2 \\ -2 & -4 & 4 \\ 2 & 4 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0.$$
行变换得 $\begin{pmatrix}1 & 2 & -2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$，基础解系为 $\boldsymbol{\xi}_1=(-2,1,0)^T$，$\boldsymbol{\xi}_2=(2,0,1)^T$。
提示：注意基础解系中向量线性无关，且个数等于重数。
步骤 4/7
目标：正交化特征向量（施密特正交化）
正交化：取 $\boldsymbol{\beta}_1=\boldsymbol{\xi}_1=(-2,1,0)^T$，
$$\boldsymbol{\beta}_2=\boldsymbol{\xi}_2-\frac{(\boldsymbol{\xi}_2,\boldsymbol{\beta}_1)}{(\boldsymbol{\beta}_1,\boldsymbol{\beta}_1)}\boldsymbol{\beta}_1=(2,0,1)^T-\frac{-4}{5}(-2,1,0)^T=(\frac{2}{5},\frac{4}{5},1)^T.$$
公式：$\boldsymbol{\beta}_k = \boldsymbol{\xi}_k - \sum_{i=1}^{k-1} \frac{(\boldsymbol{\xi}_k,\boldsymbol{\beta}_i)}{(\boldsymbol{\beta}_i,\boldsymbol{\beta}_i)} \boldsymbol{\beta}_i$
提示：计算内积时注意符号，分母是已正交向量的模长平方。
步骤 5/7
目标：单位化特征向量
单位化：
$$\boldsymbol{\eta}_1=\frac{1}{\sqrt{5}}(-2,1,0)^T,$$
$$\boldsymbol{\eta}_2=\frac{1}{\sqrt{\frac{4}{25}+\frac{16}{25}+1}}\boldsymbol{\beta}_2=\frac{1}{\sqrt{\frac{45}{25}}}(\frac{2}{5},\frac{4}{5},1)^T=\frac{1}{3\sqrt{5}}(2,4,5)^T.$$
对于 $\lambda=10$，解 $(10E-A)\boldsymbol{x}=0$：
$$\begin{pmatrix} 8 & -2 & 2 \\ -2 & 5 & 4 \\ 2 & 4 & 5 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=0.$$
行变换得 $\begin{pmatrix}1 & 0 & \frac{1}{2}\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$，基础解系为 $\boldsymbol{\xi}_3=(-1,-2,2)^T$。
单位化：$\boldsymbol{\eta}_3=\frac{1}{3}(-1,-2,2)^T$。
公式：$\boldsymbol{\eta}_i = \frac{\boldsymbol{\beta}_i}{\|\boldsymbol{\beta}_i\|}$
提示：单位化时注意模长计算，避免开方错误。
步骤 6/7
目标：构造正交矩阵并写出正交线性替换
令 $Q=(\boldsymbol{\eta}_1,\boldsymbol{\eta}_2,\boldsymbol{\eta}_3)$，则正交线性替换 $\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}$ 为：
$$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{2}{3\sqrt{5}} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{4}{3\sqrt{5}} & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{5}{3\sqrt{5}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\y_3\end{pmatrix}.$$
公式：$\boldsymbol{x}=Q\boldsymbol{y}$，其中 $Q$ 正交
提示：注意特征向量顺序与特征值对应，且 $Q$ 的列向量是单位正交的。
步骤 7/7
目标：写出标准形
正交线性替换将二次型化为标准形：
$$f = y_1^2 + y_2^2 + 10y_3^2.$$
公式：$f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2$
提示：标准形的系数是特征值，顺序与 $Q$ 的列向量对应。
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