山西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
四、（15 分）证明 $\displaystyle \operatorname{mxn}$ 矩阵 $A$ 的秩为 $r$ 的充要条件是 $A$ 有分解式 $\displaystyle A=\alpha_{1} \beta_{1}{ }^{T}+\alpha_{2} \beta_{2}{ }^{T}+ \ldots+\mathrm{a}_{r} \beta_{r}{ }^{T}$ ，其中 $\displaystyle \beta_{1}, \beta_{2}, \ldots, \beta_{r}$ 分别是线性无关的 m 维和 n 维列向量。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：必要性：利用矩阵的秩标准形分解
设矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 的秩为 $r$。则存在可逆矩阵 $P \in \mathbb{R}^{m \times m}$ 和 $Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$，使得 $PAQ = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$。于是 $A = P^{-1} \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} Q^{-1}$。
公式：PAQ = \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}
提示：注意 $P$ 和 $Q$ 是可逆矩阵，保证分解存在。
步骤 2/5
目标：必要性：将分解式写成向量外积和的形式
令 $P^{-1} = (\alpha_1, \ldots, \alpha_m)$，其中 $\alpha_i$ 是 $m$ 维列向量；令 $Q^{-1}$ 的行向量为 $\beta_1^T, \ldots, \beta_n^T$，即 $Q^{-1} = (\beta_1, \ldots, \beta_n)^T$，其中 $\beta_j$ 是 $n$ 维列向量。则 $A = (\alpha_1, \ldots, \alpha_m) \begin{pmatrix} I_r & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1^T \\ \vdots \\ \beta_n^T \end{pmatrix} = \sum_{i=1}^r \alpha_i \beta_i^T$。
公式：A = \sum_{i=1}^r \alpha_i \beta_i^T
提示：注意矩阵乘法与向量外积的关系。
步骤 3/5
目标：必要性：证明向量组的线性无关性
由于 $P^{-1}$ 可逆，$\alpha_1, \ldots, \alpha_m$ 线性无关，故 $\alpha_1, \ldots, \alpha_r$ 线性无关；同理，$Q^{-1}$ 可逆，$\beta_1, \ldots, \beta_n$ 线性无关，故 $\beta_1, \ldots, \beta_r$ 线性无关。必要性得证。
提示：可逆矩阵的列向量组线性无关，行向量组也线性无关。
步骤 4/5
目标：充分性：将和式写成矩阵乘积形式
设 $A = \sum_{i=1}^r \alpha_i \beta_i^T$，其中 $\alpha_1, \ldots, \alpha_r$ 线性无关，$\beta_1, \ldots, \beta_r$ 线性无关。令 $B = (\alpha_1, \ldots, \alpha_r) \in \mathbb{R}^{m \times r}$，$C = (\beta_1, \ldots, \beta_r)^T \in \mathbb{R}^{r \times n}$，则 $A = BC$。
公式：A = BC
提示：注意 $C$ 的行向量是 $\beta_i^T$，因此 $C$ 的行向量线性无关。
步骤 5/5
目标：充分性：利用秩的不等式和满秩分解性质
由于 $B$ 的列向量线性无关，$\operatorname{rank}(B) = r$；$C$ 的行向量线性无关，$\operatorname{rank}(C) = r$。由秩的不等式，$\operatorname{rank}(A) \leq \min\{\operatorname{rank}(B), \operatorname{rank}(C)\} = r$。另一方面，$B$ 列满秩，$C$ 行满秩，则 $\operatorname{rank}(A) = r$（因为 $B$ 是单射，$C$ 是满射，复合的秩等于 $C$ 的秩）。故 $\operatorname{rank}(A) = r$。充分性得证。
公式：\operatorname{rank}(A) = r
提示：注意满秩分解中，若 $B$ 列满秩且 $C$ 行满秩，则 $\operatorname{rank}(BC) = \operatorname{rank}(C)$。
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