山西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
八、（15 分）设 A 是 n 阶实方阵，满足 $\displaystyle \mathrm{A}^{2}=\mathrm{A}^{-1}$ ，求 A 的所有可能特征值。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：利用已知条件推导矩阵方程
已知 $A^2 = A^{-1}$，两边左乘 $A$ 得 $A^3 = I$，其中 $I$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
公式：$A^2 = A^{-1} \Rightarrow A^3 = I$
提示：注意矩阵乘法不交换，但这里左乘 $A$ 是允许的，因为 $A$ 与自身可交换。
步骤 2/7
目标：设特征值和特征向量
设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，对应的特征向量为 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，即 $A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$。
公式：$A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}$
提示：特征向量非零。
步骤 3/7
目标：将矩阵方程作用于特征向量
由 $A^3 = I$，两边作用于 $\mathbf{v}$ 得 $A^3 \mathbf{v} = \mathbf{v}$。又 $A^3 \mathbf{v} = \lambda^3 \mathbf{v}$，所以 $\lambda^3 \mathbf{v} = \mathbf{v}$。
公式：$A^3 \mathbf{v} = \lambda^3 \mathbf{v} = \mathbf{v}$
提示：注意 $A^3 \mathbf{v} = A(A(A\mathbf{v})) = \lambda^3 \mathbf{v}$。
步骤 4/7
目标：推导特征值满足的方程
由于 $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$，从 $\lambda^3 \mathbf{v} = \mathbf{v}$ 可得 $\lambda^3 = 1$。
公式：$\lambda^3 = 1$
提示：特征向量非零，因此系数相等。
步骤 5/7
目标：求解三次方程
方程 $\lambda^3 = 1$ 在复数域内的解为 $\lambda = 1, \omega, \omega^2$，其中 $\omega = e^{2\pi i/3} = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$，$\omega^2 = e^{4\pi i/3} = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$。
公式：$\lambda^3 = 1 \Rightarrow \lambda = 1, \omega, \omega^2$
提示：注意 $\omega$ 和 $\omega^2$ 是共轭复数。
步骤 6/7
目标：考虑实矩阵的限制
由于 $A$ 是实矩阵，其特征多项式是实系数多项式，非实特征值必须成对出现（共轭）。因此 $\omega$ 和 $\omega^2$ 要么同时出现，要么都不出现。$1$ 是实数，可以单独出现。
提示：实矩阵的复特征值共轭成对。
步骤 7/7
目标：总结所有可能的特征值集合
因此，$A$ 的所有可能特征值集合为：仅 $\{1\}$，仅 $\{\omega, \omega^2\}$，或 $\{1, \omega, \omega^2\}$。注意 $\omega$ 和 $\omega^2$ 不能单独出现。
提示：特征值可以重复，但这里只考虑可能的值。
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