山西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
六、（15分）设 $\displaystyle \alpha, \beta$ 是数域 $P$ 上 $n$ 维线性空间 $V$ 的两个线性变换，满足 $\displaystyle \alpha+\beta=\varepsilon, \alpha \beta =\beta d=0$ ，这里 $\displaystyle \varepsilon, 0$ 分别为单位变换和零变换。证明：
（1） $\displaystyle \mathrm{V}=\alpha \mathrm{V} \oplus \beta \mathrm{V}$ ，
（2）$\displaystyle \alpha V=\beta^{-1}(0)$ ．
这里 $\displaystyle \alpha V, \beta V$ 分别表示 $\displaystyle \alpha, \beta$ 的值域，$\displaystyle \beta^{-1}(0)$ 表示 $\displaystyle \beta$ 的核。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：证明V = αV + βV
对任意 $v \in V$，由 $\alpha + \beta = \varepsilon$ 得 $v = \alpha(v) + \beta(v)$，而 $\alpha(v) \in \alpha V$，$\beta(v) \in \beta V$，故 $V \subseteq \alpha V + \beta V$。显然 $\alpha V + \beta V \subseteq V$，所以 $V = \alpha V + \beta V$。
公式：$\alpha + \beta = \varepsilon$
提示：注意线性变换的和作用于向量上。
步骤 2/6
目标：证明αV ∩ βV = {0}
设 $w \in \alpha V \cap \beta V$，则存在 $u, v \in V$ 使得 $w = \alpha(u) = \beta(v)$。由 $\alpha \beta = 0$ 得 $\alpha(w) = \alpha(\beta(v)) = 0$。又由 $\alpha + \beta = \varepsilon$ 及 $\alpha \beta = 0$ 可推出 $\alpha^2 = \alpha$（因为 $\alpha = \alpha(\alpha+\beta) = \alpha^2 + \alpha\beta = \alpha^2$），所以 $\alpha(w) = \alpha^2(u) = \alpha(u) = w$。于是 $w = \alpha(w) = 0$，故 $\alpha V \cap \beta V = \{0\}$。
公式：$\alpha^2 = \alpha$
提示：推导$\alpha^2=\alpha$时需利用$\alpha\beta=0$。
步骤 3/6
目标：得出直和结论
由 $V = \alpha V + \beta V$ 且 $\alpha V \cap \beta V = \{0\}$，根据直和的定义，有 $V = \alpha V \oplus \beta V$。
提示：直和需要和与交均为零。
步骤 4/6
目标：证明αV ⊆ β^{-1}(0)
对任意 $w \in \alpha V$，存在 $u \in V$ 使得 $w = \alpha(u)$，则 $\beta(w) = \beta(\alpha(u)) = (\beta\alpha)(u)$。由 $\alpha \beta = 0$ 及 $\alpha+\beta = \varepsilon$ 可推出 $\beta\alpha = 0$（因为 $\beta = (\alpha+\beta)\beta = \alpha\beta + \beta^2 = \beta^2$，且 $\alpha = \alpha(\alpha+\beta) = \alpha^2 + \alpha\beta = \alpha^2$，于是 $\beta\alpha = \beta\alpha(\alpha+\beta) = \beta\alpha^2 + \beta\alpha\beta = \beta\alpha + 0$，得 $\beta\alpha = 0$），所以 $\beta(w)=0$，即 $w \in \beta^{-1}(0)$。
公式：$\beta\alpha = 0$
提示：推导$\beta\alpha=0$时需利用$\alpha\beta=0$和$\alpha+\beta=\varepsilon$。
步骤 5/6
目标：证明β^{-1}(0) ⊆ αV
对任意 $x \in \beta^{-1}(0)$，即 $\beta(x)=0$。由 $\alpha+\beta = \varepsilon$ 得 $x = \alpha(x) + \beta(x) = \alpha(x)$，故 $x \in \alpha V$。
公式：$\alpha+\beta = \varepsilon$
提示：注意核的定义：$\beta^{-1}(0)=\{x\mid \beta(x)=0\}$。
步骤 6/6
目标：得出αV = β^{-1}(0)
由 $\alpha V \subseteq \beta^{-1}(0)$ 和 $\beta^{-1}(0) \subseteq \alpha V$，根据集合相等，得 $\alpha V = \beta^{-1}(0)$。
提示：集合相等需双向包含。
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