山西大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
十、（15 分）设 A 是 n 阶实对称矩阵， E 是 n 阶单位阵，证明：
（1）如果 A 正定，则 A 的特征值全大于零。
（2）如果 A 是正定且正交的矩阵，证明 $\displaystyle \mathrm{A}=\mathrm{E}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明正定矩阵的特征值全大于零
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称正定矩阵，则对任意非零向量 $x \in \mathbb{R}^n$，有 $x^T A x > 0$。设 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，对应的特征向量为 $\alpha$（非零），则 $A\alpha = \lambda \alpha$。由于 $A$ 是实对称矩阵，特征值 $\lambda$ 为实数，且 $\alpha$ 可取实向量。于是 $\alpha^T A \alpha = \alpha^T (\lambda \alpha) = \lambda \alpha^T \alpha$。因为 $A$ 正定，$\alpha^T A \alpha > 0$，而 $\alpha^T \alpha > 0$，所以 $\lambda > 0$。因此 $A$ 的特征值全大于零。
公式：$x^T A x > 0$ 对任意非零 $x$ 成立；$A\alpha = \lambda\alpha$
提示：注意特征向量 $\alpha$ 必须是非零实向量，且 $\alpha^T\alpha > 0$。
步骤 2/4
目标：利用正交性得到特征值平方为1
设 $A$ 是 $n$ 阶实对称正定且正交的矩阵。由正交性，$A^T A = E$，又 $A$ 对称，故 $A^T = A$，从而 $A^2 = E$。设 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，对应的特征向量为 $\alpha$，则 $A\alpha = \lambda\alpha$。两边左乘 $A$ 得 $A^2\alpha = \lambda A\alpha = \lambda^2 \alpha$，但 $A^2 = E$，所以 $\alpha = \lambda^2 \alpha$，即 $(\lambda^2 - 1)\alpha = 0$。由于 $\alpha \neq 0$，故 $\lambda^2 = 1$，即 $\lambda = \pm 1$。
公式：$A^2 = E$；$A\alpha = \lambda\alpha$ 推出 $\lambda^2 = 1$
提示：注意 $A$ 对称且正交推出 $A^2=E$，但一般正交矩阵不一定对称。
步骤 3/4
目标：结合正定性确定特征值为1
由（1）知，正定矩阵 $A$ 的特征值全大于零。而由（2）的推导，$A$ 的特征值只能是 $\pm 1$。因此，所有特征值必须等于 $1$。
公式：特征值 $\lambda > 0$ 且 $\lambda = \pm 1$ 推出 $\lambda = 1$
提示：注意正定性保证特征值大于零，排除 $-1$。
步骤 4/4
目标：利用正交对角化证明A=E
由于 $A$ 是实对称矩阵，存在正交矩阵 $Q$ 使得 $Q^T A Q = \Lambda$，其中 $\Lambda$ 是对角矩阵，对角线元素为 $A$ 的特征值。由第3步知所有特征值均为 $1$，故 $\Lambda = E$。于是 $Q^T A Q = E$，左乘 $Q$ 右乘 $Q^T$ 得 $A = Q E Q^T = E$。
公式：$Q^T A Q = \Lambda$；$\Lambda = E$ 推出 $A = E$
提示：正交对角化要求 $Q$ 是正交矩阵，即 $Q^T Q = E$。
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