山西大学 2025年高等代数第1题
📝 题目
1、（15 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $P$ 上的两个一元多项式，且
$$
(f(x)-g(x), f(x)+g(x))=1
$$
证明：$\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：引入最大公因式
设 $d(x) = (f(x), g(x))$，即 $d(x)$ 是 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的最大公因式。则存在多项式 $u(x), v(x) \in P[x]$ 使得 $d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)$。
公式：d(x) = u(x)f(x) + v(x)g(x)
提示：注意最大公因式的定义：首项系数为1，且是公因式中次数最高的。
步骤 2/5
目标：推导d(x)整除f(x)-g(x)和f(x)+g(x)
由于 $d(x) \mid f(x)$ 且 $d(x) \mid g(x)$，所以 $d(x)$ 整除 $f(x)$ 和 $g(x)$ 的线性组合。特别地，$d(x) \mid (f(x) - g(x))$ 且 $d(x) \mid (f(x) + g(x))$。
提示：整除性质：若d|a且d|b，则d|(a±b)。
步骤 3/5
目标：d(x)是f(x)-g(x)和f(x)+g(x)的公因式
由步骤2，$d(x)$ 同时整除 $f(x)-g(x)$ 和 $f(x)+g(x)$，因此 $d(x)$ 是这两个多项式的公因式。从而 $d(x)$ 整除它们的最大公因式，即 $d(x) \mid (f(x)-g(x), f(x)+g(x))$。
公式：d(x) | (f(x)-g(x), f(x)+g(x))
提示：公因式整除最大公因式，但反之不一定成立。
步骤 4/5
目标：利用已知条件
已知 $(f(x)-g(x), f(x)+g(x)) = 1$，即它们的最大公因式是常数1。因此 $d(x) \mid 1$。
提示：注意1是零次多项式，且首项系数为1。
步骤 5/5
目标：得出结论
由于 $d(x) \mid 1$，且 $d(x)$ 是首项系数为1的多项式，所以 $d(x)$ 只能是常数1。因此 $(f(x), g(x)) = 1$。
提示：最大公因式是首一多项式，所以只能是1。
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