📝 山西大学 2025年高等代数真题

1、（15 分）设 $\displaystyle f(x), g(x)$ 是数域 $P$ 上的两个一元多项式，且

$$
(f(x)-g(x), f(x)+g(x))=1
$$

证明：$\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ．

2、（15 分）计算 $n$ 阶行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{ccccccc}3 & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 3\end{array}\right|$ ．

3．（15 分）设 $A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，证明：如果 $\displaystyle A^{2}-A=2 E$ ，那么秩 $\displaystyle (A+E)+$ 秩 $\displaystyle (A-2 E)=n$.

4．（15分）设 $A$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，其中 $\displaystyle n<m$ ，若 $\displaystyle A B=E$ ，其中 $E$为 $n$ 阶单位矩阵，证明：秩 $\displaystyle (B)=n$ ．

5．（15 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上一个 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，$\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，设齐次线性方程组 $\displaystyle f(A) g(A) X=0, f(A) X=0, g(A) X=0$ 的解空间为 $\displaystyle W, V_{1}, V_{2}$ ，证明：$\displaystyle W=V_{1} \oplus V_{2}$ ．

6．（15分）设 $A$ 是复数域上一个 $\displaystyle n \times n$ 阶矩阵，秩 $\displaystyle (A)=1, A$ 的迹 $\displaystyle \operatorname{tr}(A) \neq 0$ ，求 $A$ 的若尔当标准形，初等因子，不变因子，最小多项式。

7．（15 分）设 $A$ 是实数域上一个 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，若对任意非零的 $n$ 维实向量 $X$ ，恒有 $\displaystyle X^{\top} A X>0$ ，证明：$\displaystyle |A|>0$ ．

8、（15 分）求正交矩阵 $Q$ ，使得 $\displaystyle Q^{\top} A Q$ 为对角矩阵，其中 $\displaystyle A=\left(\begin{array}{ccc}1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2\end{array}\right)$ ．

9、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$\displaystyle A B$ 的特征值全为实数．

10、（15 分）设 $\displaystyle V=K^{r \times n},(V,(\cdot, \cdot))$ 是一个欧氏空间，其中内积的定义为：对任意的 $\displaystyle A, B \in V,(A, B)=\operatorname{tr}\left(A B^{T}\right)$ 又设 $\displaystyle U=\left\{A \in V \mid A^{T}=A\right\}, W=\left\{B \in V \mid B^{T}=-B\right\}$ ，证明： $\displaystyle U \perp W$ 且 $\displaystyle V=U \oplus W$ 。