山西大学 2025年高等代数第2题
📝 题目
2、（15 分）计算 $n$ 阶行列式 $\displaystyle \left|\begin{array}{ccccccc}3 & 2 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 3 & 2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 3 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 3 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 & 3\end{array}\right|$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：建立递推关系
设该 $n$ 阶行列式为 $D_n$。按第一行展开，得
$$D_n = 3 \cdot D_{n-1} - 2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 3 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 3 \end{vmatrix}_{(n-1)\times (n-1)}$$
公式：行列式按行展开公式
提示：注意符号：余子式前的符号由行标和列标之和决定，这里第一行第一列元素3的余子式符号为正，第一行第二列元素2的余子式符号为负。
步骤 2/7
目标：化简第二个行列式
第二个行列式按第一列展开，得
$$\begin{vmatrix} 1 & 2 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 3 & 2 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 3 \end{vmatrix} = 1 \cdot D_{n-2}$$
公式：行列式按第一列展开
提示：注意该行列式第一列只有第一个元素为1，其余为0，因此展开后只剩下一个子式，且符号为正。
步骤 3/7
目标：得到递推关系
代入得递推关系：
$$D_n = 3D_{n-1} - 2D_{n-2}, \quad n \ge 3$$
提示：递推关系成立的条件是 $n \ge 3$，因为 $D_{n-2}$ 在 $n=2$ 时无定义。
步骤 4/7
目标：计算初始值
计算 $D_1$ 和 $D_2$：
$$D_1 = 3$$
$$D_2 = \begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = 3 \times 3 - 2 \times 1 = 9 - 2 = 7$$
公式：二阶行列式计算公式
提示：计算 $D_2$ 时注意交叉相乘再相减，不要忘记负号。
步骤 5/7
目标：求解递推关系
递推关系 $D_n = 3D_{n-1} - 2D_{n-2}$ 的特征方程为 $r^2 - 3r + 2 = 0$，解得 $r=1,2$。故通解为
$$D_n = A \cdot 1^n + B \cdot 2^n = A + B \cdot 2^n$$
公式：二阶线性齐次递推关系的特征方程法
提示：特征方程写为 $r^2 - 3r + 2 = 0$，注意系数对应。
步骤 6/7
目标：确定待定系数
代入 $n=1,2$ 得方程组：
$$\begin{cases} A + 2B = 3 \\ A + 4B = 7 \end{cases}$$
解得 $B=2$，$A=-1$。
提示：解方程组时注意消元，避免计算错误。
步骤 7/7
目标：得出最终表达式
因此 $D_n = -1 + 2 \cdot 2^n = 2^{n+1} - 1$。
提示：化简时注意 $2 \cdot 2^n = 2^{n+1}$。
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