山西大学 2025年高等代数第8题

计算特征多项式 $|\lambda E - A| = 0$，其中 $A=\begin{pmatrix}1 & -2 & 2 \\ -2 & -2 & 4 \\ 2 & 4 & -2\end{pmatrix}$。 $$|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-1 & 2 & -2 \\ 2 & \lambda+2 & -4 \\ -2 & -4 & \lambda+2 \end{vmatrix}$$ 展开行列式： $$\begin{aligned} &= (\lambda-1)[(\lambda+2)^2 - 16] - 2[2(\lambda+2) - 8] + (-2)[-8 + 2(\lambda+2)] \\ &= (\lambda-1)(\lambda^2+4\lambda-12) - 2(2\lambda-4) - 2(2\lambda-4) \\ &= (\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda+6) - 8(\lambda-2) \\ &= (\lambda-2)[(\lambda-1)(\lambda+6) - 8] \\ &= (\lambda-2)(\lambda^2+5\lambda-14) \\ &= (\lambda-2)(\lambda+7)(\lambda-2) = (\lambda-2)^2(\lambda+7)=0 \end{aligned}$$ 特征值：$\lambda_1 = \lambda_2 = 2$（二重），$\lambda_3 = -7$。

对于 $\lambda=2$，解 $(2E-A)x=0$： $$2E-A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 2 & 4 & -4 \\ -2 & -4 & 4 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行化简}} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 基础解系：$\xi_1 = (-2,1,0)^\top$，$\xi_2 = (2,0,1)^\top$。

对于 $\lambda=-7$，解 $(-7E-A)x=0$： $$-7E-A = \begin{pmatrix} -8 & 2 & -2 \\ 2 & -5 & -4 \\ -2 & -4 & -5 \end{pmatrix} \xrightarrow{\text{行化简}} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 1/2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ 基础解系：$\xi_3 = (-1,-2,2)^\top$（取整数）。

将属于特征值2的两个特征向量 $\xi_1, \xi_2$ 正交化： 令 $\beta_1 = \xi_1 = (-2,1,0)^\top$。 计算 $\beta_2 = \xi_2 - \frac{(\xi_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)} \beta_1$： 内积 $(\xi_2,\beta_1) = 2\cdot(-2) + 0\cdot1 + 1\cdot0 = -4$，$(\beta_1,\beta_1) = (-2)^2+1^2+0^2 = 5$。 所以 $\beta_2 = (2,0,1)^\top - \frac{-4}{5}(-2,1,0)^\top = (2,0,1)^\top + \frac{4}{5}(-2,1,0)^\top = \left(2-\frac{8}{5},\frac{4}{5},1\right)^\top = \left(\frac{2}{5},\frac{4}{5},1\right)^\top$。 为方便，取 $\beta_2 = (2,4,5)^\top$（乘以5）。

将正交化后的向量单位化： $\gamma_1 = \frac{\beta_1}{\|\beta_1\|} = \frac{(-2,1,0)^\top}{\sqrt{5}} = \left(-\frac{2}{\sqrt{5}}, \frac{1}{\sqrt{5}}, 0\right)^\top$。 $\gamma_2 = \frac{\beta_2}{\|\beta_2\|} = \frac{(2,4,5)^\top}{\sqrt{2^2+4^2+5^2}} = \frac{(2,4,5)^\top}{\sqrt{45}} = \left(\frac{2}{3\sqrt{5}}, \frac{4}{3\sqrt{5}}, \frac{5}{3\sqrt{5}}\right)^\top$。 对于 $\xi_3 = (-1,-2,2)^\top$，单位化： $\gamma_3 = \frac{\xi_3}{\|\xi_3\|} = \frac{(-1,-2,2)^\top}{\sqrt{1+4+4}} = \left(-\frac{1}{3}, -\frac{2}{3}, \frac{2}{3}\right)^\top$。

将单位化后的特征向量按列排列得到正交矩阵 $Q$： $$Q = (\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3) = \begin{pmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{2}{3\sqrt{5}} & -\frac{1}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{5}} & \frac{4}{3\sqrt{5}} & -\frac{2}{3} \\ 0 & \frac{5}{3\sqrt{5}} & \frac{2}{3} \end{pmatrix}$$ 则 $Q^\top A Q = \operatorname{diag}(2,2,-7)$。