山西大学 2025年高等代数第7题
📝 题目
7．（15 分）设 $A$ 是实数域上一个 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，若对任意非零的 $n$ 维实向量 $X$ ，恒有 $\displaystyle X^{\top} A X>0$ ，证明：$\displaystyle |A|>0$ ．
💡 答案解析
暂无答案解析
📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：将二次型化为对称形式
对于任意实矩阵 $A$，二次型 $X^{\top} A X$ 可写为 $X^{\top} \left( \frac{A + A^{\top}}{2} \right) X$，因为 $X^{\top} A X$ 是标量，其转置等于自身，所以 $X^{\top} A X = \frac{1}{2} (X^{\top} A X + X^{\top} A^{\top} X) = X^{\top} \frac{A + A^{\top}}{2} X$。记 $B = \frac{A + A^{\top}}{2}$，则 $B$ 是对称矩阵，且对任意非零实向量 $X$，有 $X^{\top} B X > 0$。
公式：X^{\top} A X = X^{\top} \left( \frac{A + A^{\top}}{2} \right) X
提示：注意 $A$ 不一定对称，但二次型只依赖于其对称部分。
步骤 2/6
目标：证明对称部分 $B$ 正定
由条件，对任意非零实向量 $X$，有 $X^{\top} B X > 0$，且 $B$ 对称，因此 $B$ 是正定矩阵。正定矩阵的所有特征值大于零，且所有顺序主子式大于零。特别地，$|B| > 0$。
提示：正定矩阵的定义要求对称且二次型恒正。
步骤 3/6
目标：构造可逆矩阵 $P$ 将 $B$ 化为单位矩阵
由于 $B$ 正定，存在可逆实矩阵 $P$ 使得 $P^{\top} B P = I$。这可以通过 Cholesky 分解或合同变换得到。
公式：P^{\top} B P = I
提示：$P$ 可逆，且 $P^{\top} B P$ 是单位矩阵。
步骤 4/6
目标：考虑 $P^{\top} A P$ 的分解
计算 $P^{\top} A P = P^{\top} (B + (A - B)) P = P^{\top} B P + P^{\top} (A - B) P = I + C$，其中 $C = P^{\top} (A - B) P$。由于 $A - B$ 是反对称矩阵（因为 $A - B = \frac{A - A^{\top}}{2}$），且 $P$ 可逆，$C$ 也是反对称矩阵。
公式：P^{\top} A P = I + C, \quad C^{\top} = -C
提示：反对称矩阵在合同变换下仍保持反对称性。
步骤 5/6
目标：证明 $|I + C| > 0$
反对称矩阵 $C$ 的特征值为纯虚数或零，因此 $I + C$ 的特征值为 $1 + \lambda_i$，其中 $\lambda_i$ 是 $C$ 的特征值（纯虚数或零）。由于 $1 + \lambda_i$ 的实部为 $1$，虚部非零时模长大于 $1$，因此 $1 + \lambda_i \neq 0$，且乘积 $\prod (1 + \lambda_i)$ 为正实数（因为共轭虚根成对出现，乘积为正）。故 $|I + C| > 0$。
公式：|I + C| = \prod_{i=1}^n (1 + \lambda_i) > 0
提示：注意反对称矩阵的特征值成对共轭纯虚数。
步骤 6/6
目标：推导 $|A| > 0$
由 $P^{\top} A P = I + C$，两边取行列式得 $|P^{\top} A P| = |P^{\top}| |A| |P| = |P|^2 |A| = |I + C| > 0$。由于 $|P|^2 > 0$，因此 $|A| > 0$。
公式：|P|^2 |A| = |I + C| > 0 \Rightarrow |A| > 0
提示：注意 $|P^{\top}| = |P|$。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。