山西大学 2025年高等代数第3题
📝 题目
3．（15 分）设 $A$ 是 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，证明：如果 $\displaystyle A^{2}-A=2 E$ ，那么秩 $\displaystyle (A+E)+$ 秩 $\displaystyle (A-2 E)=n$.
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：化简已知条件
由 $A^2 - A = 2E$ 移项得 $A^2 - A - 2E = 0$，因式分解为 $(A+E)(A-2E)=0$。
公式：$(A+E)(A-2E)=0$
提示：注意矩阵乘法不交换，但此处因式分解正确，因为 $(A+E)(A-2E)=A^2 -2A + A -2E = A^2 -A -2E$。
步骤 2/4
目标：应用Sylvester不等式得到上界
设 $r_1 = \operatorname{rank}(A+E)$, $r_2 = \operatorname{rank}(A-2E)$。由Sylvester不等式：$\operatorname{rank}(A+E) + \operatorname{rank}(A-2E) \leq n + \operatorname{rank}((A+E)(A-2E))$。由于 $(A+E)(A-2E)=0$，故 $\operatorname{rank}(0)=0$，因此 $r_1 + r_2 \leq n$。
公式：$\operatorname{rank}(X)+\operatorname{rank}(Y) \leq n + \operatorname{rank}(XY)$
提示：Sylvester不等式对任意两个$n\times n$矩阵成立，注意秩的定义。
步骤 3/4
目标：构造矩阵差得到下界
考虑 $B = A+E$ 和 $C = A-2E$，则 $B - C = (A+E) - (A-2E) = 3E$。由秩不等式：$\operatorname{rank}(B) + \operatorname{rank}(C) \geq \operatorname{rank}(B-C)$。而 $\operatorname{rank}(B-C) = \operatorname{rank}(3E) = n$，所以 $r_1 + r_2 \geq n$。
公式：$\operatorname{rank}(X)+\operatorname{rank}(Y) \geq \operatorname{rank}(X-Y)$
提示：注意秩不等式 $\operatorname{rank}(X)+\operatorname{rank}(Y) \geq \operatorname{rank}(X-Y)$ 成立，因为 $X-Y$ 的列空间包含在 $X$ 和 $Y$ 的列空间之和中。
步骤 4/4
目标：结合上下界得出结论
由前两步得到 $r_1 + r_2 \leq n$ 和 $r_1 + r_2 \geq n$，因此 $r_1 + r_2 = n$，即 $\operatorname{rank}(A+E) + \operatorname{rank}(A-2E) = n$。
提示：注意上下界必须同时成立才能推出等式。
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