山西大学 2025年高等代数第4题
📝 题目
4．（15分）设 $A$ 为 $\displaystyle n \times m$ 矩阵，$B$ 为 $\displaystyle m \times n$ 矩阵，其中 $\displaystyle n<m$ ，若 $\displaystyle A B=E$ ，其中 $E$为 $n$ 阶单位矩阵，证明：秩 $\displaystyle (B)=n$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：分析已知条件
已知 $A$ 是 $n \times m$ 矩阵，$B$ 是 $m \times n$ 矩阵，且 $n < m$，满足 $AB = E_n$，其中 $E_n$ 是 $n$ 阶单位矩阵。
提示：注意矩阵维度：$A$ 的行数等于 $B$ 的列数，且 $n < m$。
步骤 2/6
目标：利用秩的不等式得到下界
由秩的性质，对于任意矩阵乘积 $AB$，有 $\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$。因为 $AB = E_n$，且 $\operatorname{rank}(E_n) = n$，所以 $n = \operatorname{rank}(AB) \leq \operatorname{rank}(B)$。
公式：$\operatorname{rank}(AB) \leq \min\{\operatorname{rank}(A), \operatorname{rank}(B)\}$
提示：注意秩不等式方向：乘积的秩不超过每个因子的秩。
步骤 3/6
目标：利用矩阵列数得到上界
$B$ 是 $m \times n$ 矩阵，其秩不超过列数 $n$，即 $\operatorname{rank}(B) \leq n$。
公式：$\operatorname{rank}(B) \leq \min(m, n) = n$
提示：矩阵的秩不超过行数和列数中的较小者。
步骤 4/6
目标：结合上下界得出结论
由 $n \leq \operatorname{rank}(B)$ 和 $\operatorname{rank}(B) \leq n$，可得 $\operatorname{rank}(B) = n$。
提示：注意不等式两边夹逼得到等式。
步骤 5/6
目标：方法二：利用线性方程组证明
考虑齐次线性方程组 $Bx = 0$，其中 $x \in \mathbb{R}^n$。若 $x$ 满足 $Bx = 0$，则左乘 $A$ 得 $A(Bx) = 0$，即 $(AB)x = 0$，所以 $E_n x = 0$，故 $x = 0$。因此 $Bx = 0$ 只有零解。
公式：$Bx = 0 \Rightarrow ABx = 0 \Rightarrow E_n x = 0 \Rightarrow x = 0$
提示：注意左乘 $A$ 时矩阵乘法顺序：$A(Bx) = (AB)x$。
步骤 6/6
目标：由解的性质得到秩
由于 $Bx = 0$ 只有零解，$B$ 的列向量线性无关，故 $\operatorname{rank}(B) = n$。
提示：齐次方程组只有零解等价于系数矩阵列满秩。
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