山西大学 2025年高等代数第5题
📝 题目
5．（15 分）设 $A$ 是数域 $P$ 上一个 $\displaystyle n \times n$ 矩阵，$\displaystyle f(x), g(x) \in P[x]$ ，且 $\displaystyle (f(x), g(x))=1$ ，设齐次线性方程组 $\displaystyle f(A) g(A) X=0, f(A) X=0, g(A) X=0$ 的解空间为 $\displaystyle W, V_{1}, V_{2}$ ，证明：$\displaystyle W=V_{1} \oplus V_{2}$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：定义解空间
设 $W = \{X \in P^n \mid f(A)g(A)X = 0\}$，$V_1 = \{X \in P^n \mid f(A)X = 0\}$，$V_2 = \{X \in P^n \mid g(A)X = 0\}$。由于 $f(A)g(A)=g(A)f(A)$，显然 $V_1 \subseteq W$ 且 $V_2 \subseteq W$，故 $V_1 + V_2 \subseteq W$。
提示：注意矩阵乘法可交换，因为多项式矩阵可交换。
步骤 2/6
目标：利用互素条件得到恒等式
因为 $(f(x), g(x))=1$，所以存在 $u(x), v(x) \in P[x]$ 使得 $u(x)f(x) + v(x)g(x) = 1$。代入 $A$ 得 $u(A)f(A) + v(A)g(A) = I$。
公式：u(A)f(A) + v(A)g(A) = I
提示：注意多项式互素时存在贝祖等式，代入矩阵时保持顺序。
步骤 3/6
目标：证明 $W \subseteq V_1 + V_2$
对任意 $X \in W$，有 $f(A)g(A)X = 0$。则 $X = I X = [u(A)f(A) + v(A)g(A)]X = u(A)f(A)X + v(A)g(A)X$。令 $X_1 = v(A)g(A)X$，$X_2 = u(A)f(A)X$，则 $X = X_1 + X_2$。
公式：X = u(A)f(A)X + v(A)g(A)X
提示：注意 $X_1$ 和 $X_2$ 的定义，不要混淆。
步骤 4/6
目标：验证 $X_1 \in V_1$ 和 $X_2 \in V_2$
由于 $f(A)X_1 = f(A)v(A)g(A)X = v(A)f(A)g(A)X = 0$，故 $X_1 \in V_1$。由于 $g(A)X_2 = g(A)u(A)f(A)X = u(A)g(A)f(A)X = 0$，故 $X_2 \in V_2$。因此 $X \in V_1 + V_2$，从而 $W \subseteq V_1 + V_2$。
提示：注意矩阵乘法可交换，$f(A)g(A)=g(A)f(A)$。
步骤 5/6
目标：证明和是直和
下证 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。若 $X \in V_1 \cap V_2$，则 $f(A)X = 0$ 且 $g(A)X = 0$。于是 $X = I X = [u(A)f(A) + v(A)g(A)]X = u(A)f(A)X + v(A)g(A)X = 0$，故 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$。
提示：注意零向量是唯一公共向量。
步骤 6/6
目标：结论
由 $W = V_1 + V_2$ 且 $V_1 \cap V_2 = \{0\}$，得 $W = V_1 \oplus V_2$。
提示：直和需要和与交的条件同时满足。
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