山西大学 2025年高等代数第10题
📝 题目
10、（15 分）设 $\displaystyle V=K^{r \times n},(V,(\cdot, \cdot))$ 是一个欧氏空间，其中内积的定义为：对任意的 $\displaystyle A, B \in V,(A, B)=\operatorname{tr}\left(A B^{T}\right)$ 又设 $\displaystyle U=\left\{A \in V \mid A^{T}=A\right\}, W=\left\{B \in V \mid B^{T}=-B\right\}$ ，证明： $\displaystyle U \perp W$ 且 $\displaystyle V=U \oplus W$ 。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：证明U与W正交：计算内积并利用迹的性质
对任意 $A \in U$（即 $A^T = A$）和 $B \in W$（即 $B^T = -B$），计算内积：$(A, B) = \operatorname{tr}(A B^T) = \operatorname{tr}(A (-B)) = -\operatorname{tr}(AB)$。另一方面，利用迹的性质 $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$ 以及转置性质，有 $\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}((AB)^T) = \operatorname{tr}(B^T A^T) = \operatorname{tr}((-B) A) = -\operatorname{tr}(BA) = -\operatorname{tr}(AB)$。因此 $\operatorname{tr}(AB) = -\operatorname{tr}(AB)$，推出 $\operatorname{tr}(AB) = 0$，从而 $(A, B) = 0$。故 $U \perp W$。
公式：$(A, B) = \operatorname{tr}(A B^T)$，$\operatorname{tr}(AB) = \operatorname{tr}(BA)$
提示：注意内积定义中 $B^T$ 的位置，以及 $B \in W$ 时 $B^T = -B$。利用迹的循环不变性时，要确保矩阵乘法有意义。
步骤 2/4
目标：证明U与W的交集只有零矩阵
若 $A \in U \cap W$，则 $A^T = A$ 且 $A^T = -A$，所以 $A = -A$，即 $2A = 0$，故 $A = 0$。因此 $U \cap W = \{0\}$。
提示：注意零矩阵是唯一的既对称又反对称的矩阵。
步骤 3/4
目标：证明V中任意矩阵可分解为U和W中元素之和
对任意 $X \in V$，令 $A = \frac{X + X^T}{2}$，$B = \frac{X - X^T}{2}$。则 $A^T = \frac{X^T + X}{2} = A$，$B^T = \frac{X^T - X}{2} = -B$，且 $X = A + B$。因此 $V = U + W$。
公式：$A = \frac{X + X^T}{2}$，$B = \frac{X - X^T}{2}$
提示：注意对称部分和反对称部分的构造，确保 $A$ 和 $B$ 分别属于 $U$ 和 $W$。
步骤 4/4
目标：总结直和与正交关系
由 $U \cap W = \{0\}$ 和 $V = U + W$ 得 $V = U \oplus W$。结合第一步的正交性，有 $U \perp W$ 且 $V = U \oplus W$。
提示：直和需要子空间交为零，正交需要内积为零，两者结合。
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