山西大学 2025年高等代数第6题
📝 题目
6．（15分）设 $A$ 是复数域上一个 $\displaystyle n \times n$ 阶矩阵，秩 $\displaystyle (A)=1, A$ 的迹 $\displaystyle \operatorname{tr}(A) \neq 0$ ，求 $A$ 的若尔当标准形，初等因子，不变因子，最小多项式。
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：利用秩为1分解矩阵
由于 $\operatorname{rank}(A)=1$，存在非零列向量 $\alpha, \beta \in \mathbb{C}^n$ 使得 $A = \alpha \beta^T$。
公式：$A = \alpha \beta^T$
提示：注意 $\alpha$ 和 $\beta$ 是列向量，$\beta^T$ 是行向量。
步骤 2/6
目标：计算迹并确定非零特征值
迹 $\operatorname{tr}(A) = \operatorname{tr}(\alpha \beta^T) = \beta^T \alpha$。由条件 $\operatorname{tr}(A) \neq 0$，记 $\lambda = \beta^T \alpha \neq 0$。由于 $A$ 的秩为1，$\lambda$ 是 $A$ 的唯一非零特征值，且代数重数为1。特征值0的代数重数为 $n-1$。
公式：$\operatorname{tr}(A) = \beta^T \alpha = \lambda$
提示：迹等于特征值之和，这里非零特征值就是迹。
步骤 3/6
目标：分析若尔当标准形结构
由于 $\operatorname{rank}(A)=1$，特征值0对应的若尔当块只能是一阶的，否则若存在大于1阶的若尔当块，矩阵的秩会大于1。因此 $A$ 的若尔当标准形为 $\operatorname{diag}(\lambda, 0, \dots, 0)$，其中 $\lambda$ 位于第一个位置。
公式：$J = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & 0 \end{pmatrix}$
提示：若尔当块的大小由代数重数和几何重数决定，这里几何重数等于代数重数。
步骤 4/6
目标：确定初等因子
初等因子是若尔当标准形中每个若尔当块对应的特征多项式因子。对于一阶若尔当块 $[\lambda]$，初等因子为 $\lambda - \lambda$；对于 $n-1$ 个一阶零块，每个初等因子为 $\lambda$。因此初等因子为 $\lambda - \lambda, \underbrace{\lambda, \dots, \lambda}_{n-1 \text{个}}$。
公式：初等因子：$\lambda-\lambda, \lambda, \dots, \lambda$
提示：注意初等因子是多项式，通常写为 $\lambda - \lambda$ 和 $\lambda$。
步骤 5/6
目标：确定不变因子
不变因子由初等因子按次数从低到高排列得到。由于初等因子中 $\lambda$ 出现 $n-1$ 次，$\lambda-\lambda$ 出现1次，且 $\lambda$ 与 $\lambda-\lambda$ 互素，因此不变因子为前 $n-1$ 个为1，最后一个为 $\lambda(\lambda-\lambda)$。即不变因子：$\underbrace{1, \dots, 1}_{n-1 \text{个}}, \lambda(\lambda-\lambda)$。
公式：不变因子：$1, \dots, 1, \lambda(\lambda-\lambda)$
提示：不变因子是初等因子的乘积组合，注意次数之和为 $n$。
步骤 6/6
目标：确定最小多项式
最小多项式是最后一个不变因子，即所有初等因子的最小公倍式。由于初等因子为 $\lambda$ 和 $\lambda-\lambda$，它们互素，所以最小多项式为 $\lambda(\lambda-\lambda)$。
公式：最小多项式：$m(\lambda) = \lambda(\lambda-\lambda)$
提示：最小多项式整除特征多项式，且根相同。
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