山西大学 2025年高等代数第9题
📝 题目
9、（15 分）设 $A$ 为 $n$ 阶正定矩阵，$B$ 为 $n$ 阶实对称矩阵，证明：$\displaystyle A B$ 的特征值全为实数．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用正定矩阵的分解性质
由于 $A$ 是正定矩阵，根据正定矩阵的性质，存在可逆矩阵 $P$ 使得 $A = P P^T$。
公式：A = P P^T
提示：注意正定矩阵的分解不唯一，但存在性保证。
步骤 2/5
目标：将AB表示为相似变换形式
考虑矩阵 $P^{-1}(AB)P$。代入 $A = P P^T$，得 $P^{-1}(P P^T B)P = (P^{-1}P) P^T B P = P^T B P$。
公式：P^{-1}(AB)P = P^T B P
提示：注意矩阵乘法顺序，$P^{-1}$ 与 $P$ 相乘为单位阵。
步骤 3/5
目标：证明P^T B P是实对称矩阵
因为 $B$ 是实对称矩阵，即 $B^T = B$。计算 $(P^T B P)^T = P^T B^T (P^T)^T = P^T B P$，所以 $P^T B P$ 也是实对称矩阵。
公式：(P^T B P)^T = P^T B P
提示：注意转置运算：$(P^T B P)^T = P^T B^T P$，且 $B^T = B$。
步骤 4/5
目标：实对称矩阵的特征值性质
实对称矩阵的特征值全为实数。因此 $P^T B P$ 的特征值全为实数。
提示：这是线性代数中的基本定理。
步骤 5/5
目标：相似矩阵的特征值相同
由于 $AB$ 与 $P^T B P$ 相似（因为 $P^{-1}(AB)P = P^T B P$），相似矩阵具有相同的特征值，所以 $AB$ 的特征值全为实数。
提示：相似变换不改变特征值。
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