山西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
1．$\sigma$ 的核 $\operatorname{ker}(\sigma)=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/6
目标：明确核的定义
线性变换 $\sigma: V \to V$ 的核定义为 $\ker(\sigma) = \{ \alpha \in V \mid \sigma(\alpha) = 0 \}$。这是所有被 $\sigma$ 映射为零向量的向量集合。
公式：$\ker(\sigma) = \{ \alpha \in V \mid \sigma(\alpha) = 0 \}$
提示：注意核是 $V$ 的子空间，且 $\sigma$ 是单射当且仅当 $\ker(\sigma) = \{0\}$。
步骤 2/6
目标：理解题目中的集合
题目中给出的集合 $S = \{ \alpha - \sigma(\alpha) \mid \alpha \in V \}$ 实际上是线性变换 $1 - \sigma$ 的像，即 $\operatorname{Im}(1 - \sigma)$，其中 $1$ 是恒等变换。因为 $\alpha - \sigma(\alpha) = (1-\sigma)(\alpha)$。
公式：$S = \operatorname{Im}(1-\sigma)$
提示：注意 $1-\sigma$ 也是线性变换，其像是一个子空间。
步骤 3/6
目标：分析一般情况下的关系
一般情况下，$\ker(\sigma)$ 与 $\operatorname{Im}(1-\sigma)$ 没有包含关系。例如，取 $V = \mathbb{R}^2$，$\sigma$ 为旋转 $90^\circ$：$\sigma(x,y) = (-y,x)$。则 $\ker(\sigma) = \{ (0,0) \}$，而 $\operatorname{Im}(1-\sigma) = \{ (x+y, y-x) \mid (x,y) \in \mathbb{R}^2 \} = \mathbb{R}^2$，两者不相等。
提示：不要想当然地认为两个集合相等，需要具体验证。
步骤 4/6
目标：特殊情况：幂等变换
当 $\sigma$ 是幂等变换（即 $\sigma^2 = \sigma$）时，有 $\ker(\sigma) = \operatorname{Im}(1-\sigma)$。证明：若 $\alpha \in \ker(\sigma)$，则 $\sigma(\alpha)=0$，于是 $\alpha = \alpha - 0 = \alpha - \sigma(\alpha) \in S$；反之，若 $\beta = \alpha - \sigma(\alpha) \in S$，则 $\sigma(\beta) = \sigma(\alpha) - \sigma^2(\alpha) = \sigma(\alpha) - \sigma(\alpha) = 0$，故 $\beta \in \ker(\sigma)$。
公式：$\sigma^2 = \sigma \implies \ker(\sigma) = \operatorname{Im}(1-\sigma)$
提示：幂等变换也称为投影变换，此时核与像互补。
步骤 5/6
目标：举例说明幂等变换
取 $V = \mathbb{R}^2$，$\sigma$ 为投影到 $x$ 轴的变换：$\sigma(x,y) = (x,0)$。则 $\sigma^2 = \sigma$，$\ker(\sigma) = \{ (0,y) \mid y \in \mathbb{R} \}$，$S = \{ (x,y) - (x,0) = (0,y) \mid (x,y) \in \mathbb{R}^2 \} = \{ (0,y) \mid y \in \mathbb{R} \}$，两者相等。
提示：投影变换是幂等变换的典型例子。
步骤 6/6
目标：总结结论
题目中的等式 $\ker(\sigma) = \{ \alpha - \sigma(\alpha) \mid \alpha \in V \}$ 一般不成立，仅在 $\sigma$ 为幂等变换时成立。正确的核定义为 $\ker(\sigma) = \{ \alpha \in V \mid \sigma(\alpha) = 0 \}$。
提示：注意区分核与像的不同定义。
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