📝 山西师范大学 2024年高等代数真题
第0题
1．求参数 $a, b$ 的值；
第0题
2．利用正交变换将二次型化成标准型，并写出所用的正交变换．
第0题
1．$\sigma$ 的核 $\operatorname{ker}(\sigma)=\{\alpha-\sigma(\alpha) \mid \alpha \in V\}$ ；
第0题
2．$\sigma$ 的像 $\operatorname{Im}(\sigma)$ 中的向量 $\alpha$ 满足 $\sigma(\alpha)=\alpha$ ；
第0题
3．$V=\operatorname{ker}(\sigma) \oplus \operatorname{Im}(\sigma)$ ．
第0题
四．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，$A$ 可逆，且满足 $\displaystyle 2 A^{-1} B=B-4 E$ ．证明：$\displaystyle A-2 E$ 可逆，并求其逆矩阵。
五。设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X=a x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-2 b x_{1} x_{3}$ ，其中，$\displaystyle b>0$ ，且 $A$的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ．
1．求参数 $\displaystyle a, b$ 的值；
2．利用正交变换将二次型化成标准型，并写出所用的正交变换．
五。设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X=a x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-2 b x_{1} x_{3}$ ，其中，$\displaystyle b>0$ ，且 $A$的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ．
1．求参数 $\displaystyle a, b$ 的值；
2．利用正交变换将二次型化成标准型，并写出所用的正交变换．