山西师范大学 2024年高等代数第0题

对于二次型 $f(x_1,x_2,x_3)=x_1^2+2x_2^2+3x_3^2-4x_1x_2-4x_2x_3$，其矩阵 $A$ 的元素满足：$a_{ii}$ 为 $x_i^2$ 的系数，$a_{ij}=a_{ji}$ 为 $x_ix_j$ 系数的一半。因此 $A=\begin{pmatrix} 1 & -2 & 0 \\ -2 & 2 & -2 \\ 0 & -2 & 3 \end{pmatrix}$。

解特征方程 $|\lambda E - A|=0$，即 $\begin{vmatrix} \lambda-1 & 2 & 0 \\ 2 & \lambda-2 & 2 \\ 0 & 2 & \lambda-3 \end{vmatrix}=0$。展开得 $(\lambda-1)(\lambda-2)(\lambda-3)-4(\lambda-1)-4(\lambda-3)=0$，化简为 $\lambda^3-6\lambda^2+3\lambda+10=0$。因式分解得 $(\lambda-5)(\lambda-2)(\lambda+1)=0$，故特征值 $\lambda_1=5,\lambda_2=2,\lambda_3=-1$。

对于 $\lambda_1=5$，解 $(5E-A)x=0$：$\begin{pmatrix} 4 & 2 & 0 \\ 2 & 3 & 2 \\ 0 & 2 & 2 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0$，得 $x_1=-\frac{1}{2}x_2, x_3=-x_2$，取 $x_2=-2$ 得 $\alpha_1=(1,-2,1)^T$，单位化得 $p_1=\frac{1}{\sqrt{6}}(1,-2,1)^T$。 对于 $\lambda_2=2$，解 $(2E-A)x=0$：$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0$，得 $x_1=2x_3, x_2=-x_3$，取 $x_3=1$ 得 $\alpha_2=(2,-1,1)^T$？检查：代入第二方程 $4+0+2=6\neq0$，错误。重新解：由第一方程 $x_1+2x_2=0$，第三方程 $2x_2-x_3=0$，得 $x_1=-2x_2, x_3=2x_2$，取 $x_2=1$ 得 $\alpha_2=(-2,1,2)^T$，但需与答案一致。答案给出 $\alpha_2=(2,1,-2)^T$，验证：代入第一方程 $2+2=4\neq0$，矛盾。实际上，正确解：由 $(2E-A)x=0$ 得 $\begin{cases} x_1+2x_2=0 \\ 2x_1+0x_2+2x_3=0 \\ 2x_2-x_3=0 \end{cases}$，解得 $x_1=-2x_2, x_3=2x_2$，取 $x_2=1$ 得 $(-2,1,2)^T$，单位化得 $\frac{1}{3}(-2,1,2)^T$。但答案给出 $(2,1,-2)^T$，可能是符号差异，但需一致。为与答案匹配，采用答案的向量：$\alpha_2=(2,1,-2)^T$，验证：$(2E-A)\alpha_2 = (2+2, 4+0-4, 0-2+2)= (4,0,0)\neq 0$，错误。因此答案有误，应修正。正确特征向量：$\lambda_2=2$ 时，$\alpha_2=(-2,1,2)^T$，单位化 $p_2=\frac{1}{3}(-2,1,2)^T$。 对于 $\lambda_3=-1$，解 $(-E-A)x=0$：$\begin{pmatrix} -2 & 2 & 0 \\ 2 & -3 & 2 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix}=0$，得 $x_1=x_2, x_3=\frac{1}{2}x_2$，取 $x_2=2$ 得 $\alpha_3=(2,2,1)^T$，单位化 $p_3=\frac{1}{3}(2,2,1)^T$。

将单位化后的特征向量按列排成矩阵 $Q$：$Q=(p_1,p_2,p_3)=\begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{2}{3} & \frac{2}{3} \\ -\frac{2}{\sqrt{6}} & \frac{1}{3} & \frac{2}{3} \\ \frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{2}{3} & \frac{1}{3} \end{pmatrix}$。注意 $p_2$ 已修正为 $(-2,1,2)^T/3$。

标准型为 $f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2 = 5y_1^2 + 2y_2^2 - y_3^2$。