山西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
2．$\sigma$ 的像 $\operatorname{Im}(\sigma)$ 中的向量 $\alpha$ 满足 $\sigma(\alpha)=\alpha$ ；
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：理解题目条件
题目说：$\operatorname{Im}(\sigma)$ 中的向量 $\alpha$ 满足 $\sigma(\alpha)=\alpha$。这意味着对于任意 $\alpha \in \operatorname{Im}(\sigma)$，有 $\sigma(\alpha)=\alpha$。
提示：注意 $\operatorname{Im}(\sigma)$ 是像空间，其中的向量都是某个原像的像。
步骤 2/5
目标：将条件转化为对任意 $v \in V$ 的等式
取任意 $\alpha \in \operatorname{Im}(\sigma)$，则存在 $v \in V$ 使得 $\alpha = \sigma(v)$。代入条件得 $\sigma(\sigma(v)) = \sigma(v)$，即 $\sigma^2(v) = \sigma(v)$。由于 $v$ 是任意的，所以 $\sigma^2 = \sigma$。
公式：$\sigma^2(v) = \sigma(v)$ 对所有 $v \in V$ 成立
提示：注意 $\sigma^2$ 表示复合映射 $\sigma \circ \sigma$。
步骤 3/5
目标：推导出 $\sigma$ 是幂等变换
由 $\sigma^2 = \sigma$ 可知 $\sigma$ 是幂等线性变换，也称为投影变换。
公式：$\sigma^2 = \sigma$
提示：幂等变换是线性代数中的重要概念，注意与对合变换 $\sigma^2 = I$ 区分。
步骤 4/5
目标：验证充分性
反之，若 $\sigma^2 = \sigma$，则对任意 $\alpha \in \operatorname{Im}(\sigma)$，存在 $v$ 使 $\alpha = \sigma(v)$，于是 $\sigma(\alpha) = \sigma^2(v) = \sigma(v) = \alpha$。所以条件成立。
公式：$\sigma(\alpha) = \alpha$
提示：充分性证明中要明确 $\alpha$ 是像中的向量。
步骤 5/5
目标：总结结论
因此，题目条件等价于 $\sigma^2 = \sigma$，即 $\sigma$ 是幂等线性变换。
公式：$\sigma^2 = \sigma$
提示：结论简洁明了，注意不要遗漏等价性。
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