山西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
四．设 $\displaystyle A, B$ 均为 $n$ 阶方阵，$A$ 可逆，且满足 $\displaystyle 2 A^{-1} B=B-4 E$ ．证明：$\displaystyle A-2 E$ 可逆，并求其逆矩阵。
五。设实二次型 $\displaystyle f\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right)=X^{T} A X=a x_{1}^{2}-2 x_{2}^{2}-2 x_{3}^{2}-2 b x_{1} x_{3}$ ，其中，$\displaystyle b>0$ ，且 $A$的特征值之和为 1 ，特征值之积为 -12 ．
1．求参数 $\displaystyle a, b$ 的值；
2．利用正交变换将二次型化成标准型，并写出所用的正交变换．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/8
目标：化简矩阵方程
给定 $2A^{-1}B = B - 4E$，两边左乘 $A$ 得 $2B = AB - 4A$，即 $AB - 2B - 4A = 0$。
公式：左乘 $A$：$A(2A^{-1}B) = A(B-4E)$
提示：注意左乘顺序，$A$ 乘在左边，因为 $A^{-1}$ 在左边。
步骤 2/8
目标：因式分解得到可逆性条件
将 $AB - 2B - 4A = 0$ 改写为 $(A-2E)(B-4E) = 8E$。展开验证：$(A-2E)(B-4E) = AB - 4A - 2B + 8E = (AB - 2B - 4A) + 8E = 0 + 8E = 8E$。
公式：$(A-2E)(B-4E) = 8E$
提示：注意常数项的处理，不要遗漏 $8E$。
步骤 3/8
目标：得出逆矩阵表达式
由 $(A-2E)(B-4E) = 8E$ 得 $(A-2E) \cdot \frac{1}{8}(B-4E) = E$，因此 $A-2E$ 可逆，且 $(A-2E)^{-1} = \frac{1}{8}(B-4E)$。
公式：$(A-2E)^{-1} = \frac{1}{8}(B-4E)$
提示：注意逆矩阵的唯一性，验证时需确保乘积为单位阵。
步骤 4/8
目标：写出二次型矩阵并求参数a
二次型 $f = a x_1^2 - 2 x_2^2 - 2 x_3^2 - 2b x_1 x_3$ 的矩阵为 $A = \begin{pmatrix} a & 0 & -b \\ 0 & -2 & 0 \\ -b & 0 & -2 \end{pmatrix}$。特征值之和等于迹：$\operatorname{tr}(A) = a - 2 - 2 = a - 4 = 1$，解得 $a = 5$。
公式：$\operatorname{tr}(A) = \sum \lambda_i$
提示：注意二次型中交叉项系数要除以2，但这里 $-2b x_1 x_3$ 对应 $a_{13}=a_{31}=-b$。
步骤 5/8
目标：利用特征值之积求参数b
特征值之积等于行列式：$\det(A) = \begin{vmatrix} 5 & 0 & -b \\ 0 & -2 & 0 \\ -b & 0 & -2 \end{vmatrix} = 5 \cdot (-2) \cdot (-2) + 0 + 0 - (-b) \cdot 0 \cdot (-b) - 0 \cdot 0 \cdot 5 - 0 \cdot (-2) \cdot (-b) = 20 - 2b^2 = -12$，解得 $b^2 = 16$，由 $b>0$ 得 $b=4$。
公式：$\det(A) = \prod \lambda_i$
提示：计算三阶行列式时注意符号，可用展开法则。
步骤 6/8
目标：求特征值
矩阵 $A = \begin{pmatrix} 5 & 0 & -4 \\ 0 & -2 & 0 \\ -4 & 0 & -2 \end{pmatrix}$。特征多项式 $|\lambda E - A| = \begin{vmatrix} \lambda-5 & 0 & 4 \\ 0 & \lambda+2 & 0 \\ 4 & 0 & \lambda+2 \end{vmatrix} = (\lambda+2)[(\lambda-5)(\lambda+2)-16] = (\lambda+2)(\lambda^2 -3\lambda -26) = 0$。解得 $\lambda_1 = -2$，$\lambda_2 = \frac{3+\sqrt{113}}{2}$，$\lambda_3 = \frac{3-\sqrt{113}}{2}$。
公式：$|\lambda E - A| = 0$
提示：注意行列式展开时利用第二行只有一个非零元简化计算。
步骤 7/8
目标：求特征向量并正交化
对于 $\lambda_1 = -2$，解 $(-2E-A)x=0$，得 $x_1=0, x_3=0$，$x_2$ 自由，取 $\xi_1 = (0,1,0)^T$。对于 $\lambda_2 = \frac{3+\sqrt{113}}{2}$，解 $(\lambda_2 E - A)x=0$，得 $x_2=0$，$x_1=1$，$x_3 = \frac{7-\sqrt{113}}{8}$，取 $\xi_2 = (1,0,\frac{7-\sqrt{113}}{8})^T$。对于 $\lambda_3 = \frac{3-\sqrt{113}}{2}$，得 $\xi_3 = (1,0,\frac{7+\sqrt{113}}{8})^T$。由于 $\xi_1$ 与 $\xi_2,\xi_3$ 正交（$x_2$ 分量不同），只需单位化：$\eta_1 = (0,1,0)^T$，$\eta_2 = \frac{\xi_2}{\|\xi_2\|}$，$\eta_3 = \frac{\xi_3}{\|\xi_3\|}$。
公式：$(\lambda_i E - A)x=0$
提示：注意特征向量不唯一，但需确保正交性；单位化时计算模长。
步骤 8/8
目标：写出正交变换和标准型
正交变换矩阵 $Q = (\eta_1, \eta_2, \eta_3)$，则 $X = QY$，标准型为 $f = -2 y_1^2 + \frac{3+\sqrt{113}}{2} y_2^2 + \frac{3-\sqrt{113}}{2} y_3^2$。
公式：$f = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \lambda_3 y_3^2$
提示：正交变换下二次型化为标准型，系数为特征值。
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