山西师范大学 2024年高等代数第0题
📝 题目
3．$V=\operatorname{ker}(\sigma) \oplus \operatorname{Im}(\sigma)$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：明确题目条件与结论
题目要求证明 $V = \ker(\sigma) \oplus \operatorname{Im}(\sigma)$。但该等式并非对任意线性变换成立，通常需要附加条件，例如 $\sigma$ 是幂等变换（$\sigma^2 = \sigma$）。因此，我们假设 $\sigma$ 是幂等变换进行证明。
提示：注意：题目可能隐含了幂等条件，否则结论不成立。
步骤 2/5
目标：证明 $V = \ker(\sigma) + \operatorname{Im}(\sigma)$
对任意 $v \in V$，考虑分解 $v = \sigma(v) + (v - \sigma(v))$。显然 $\sigma(v) \in \operatorname{Im}(\sigma)$。又因为 $\sigma(v - \sigma(v)) = \sigma(v) - \sigma^2(v) = \sigma(v) - \sigma(v) = 0$，所以 $v - \sigma(v) \in \ker(\sigma)$。因此 $V = \ker(\sigma) + \operatorname{Im}(\sigma)$。
公式：$\sigma^2 = \sigma$
提示：分解的关键是构造 $v - \sigma(v)$，并利用幂等性验证其属于核。
步骤 3/5
目标：证明 $\ker(\sigma) \cap \operatorname{Im}(\sigma) = \{0\}$
设 $v \in \ker(\sigma) \cap \operatorname{Im}(\sigma)$，则 $\sigma(v)=0$ 且存在 $u \in V$ 使得 $v = \sigma(u)$。于是 $0 = \sigma(v) = \sigma(\sigma(u)) = \sigma^2(u) = \sigma(u) = v$，故 $v=0$。因此交只有零向量。
公式：$\sigma^2 = \sigma$
提示：注意：这里必须使用幂等性，否则无法从 $\sigma(v)=0$ 推出 $v=0$。
步骤 4/5
目标：由直和定义得出结论
由 $V = \ker(\sigma) + \operatorname{Im}(\sigma)$ 且 $\ker(\sigma) \cap \operatorname{Im}(\sigma) = \{0\}$，根据直和的定义，有 $V = \ker(\sigma) \oplus \operatorname{Im}(\sigma)$。
提示：直和需要同时满足和与交的条件，缺一不可。
步骤 5/5
目标：补充说明：一般情况不成立
若 $\sigma$ 不是幂等变换，结论不一定成立。例如，考虑 $\sigma: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2$ 定义为 $\sigma(x,y) = (y,0)$，则 $\ker(\sigma) = \{(x,0)\}$，$\operatorname{Im}(\sigma) = \{(y,0)\}$，两者相等，交非零，且和仅为 $x$ 轴，不等于全空间。
提示：反例帮助理解条件的重要性。
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