山西师范大学 2025年高等代数第0题
📝 题目
一、（20 分）设 $\displaystyle M_{11}, M_{12}, M_{13}, M_{14}$ 是 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & -2 & 4 & 7 \\ 1 & x^{2}+1 & 4 & 4 \\ 3 & -3 & 7 & 9\end{array}\right|$ 的 4 个余子式。
（10 分）（1）设 $\displaystyle f(x)=M_{1}+M_{12}+2 M_{13}-3 M_{14}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（5 分）（2）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上是不可约的．
（5 分）（3）求 $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时，满足 $\displaystyle f(x)$ 整除 $\displaystyle x^{3}+a x^{2}+b x$ ．
💡 答案解析
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📋 详细解题步骤
步骤 1/7
目标：计算余子式 M11
去掉第1行第1列，得到三阶行列式：
\[ M_{11} = \begin{vmatrix} -2 & 4 & 7 \\ x^2+1 & 4 & 4 \\ -3 & 7 & 9 \end{vmatrix} \]
按第一行展开：
\[ M_{11} = (-2) \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} -4 \begin{vmatrix} x^2+1 & 4 \\ -3 & 9 \end{vmatrix} +7 \begin{vmatrix} x^2+1 & 4 \\ -3 & 7 \end{vmatrix} \]
计算各二阶行列式：
\[ \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} = 36-28=8,\quad \begin{vmatrix} x^2+1 & 4 \\ -3 & 9 \end{vmatrix} = 9(x^2+1)+12=9x^2+21,\quad \begin{vmatrix} x^2+1 & 4 \\ -3 & 7 \end{vmatrix} = 7(x^2+1)+12=7x^2+19 \]
代入得：
\[ M_{11} = (-2)\cdot8 -4(9x^2+21) +7(7x^2+19) = -16-36x^2-84+49x^2+133 = 13x^2+33 \]
公式：行列式按行展开公式
提示：注意符号：展开时第二项系数为-4，因为位置(1,2)的代数余子式带负号。
步骤 2/7
目标：计算余子式 M12
去掉第1行第2列，得到：
\[ M_{12} = \begin{vmatrix} 2 & 4 & 7 \\ 1 & 4 & 4 \\ 3 & 7 & 9 \end{vmatrix} \]
按第一行展开：
\[ M_{12} = 2 \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix} -4 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 9 \end{vmatrix} +7 \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} \]
计算：
\[ \begin{vmatrix} 4 & 4 \\ 7 & 9 \end{vmatrix}=8,\quad \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 9 \end{vmatrix}=9-12=-3,\quad \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 7 \end{vmatrix}=7-12=-5 \]
代入：
\[ M_{12} = 2\cdot8 -4\cdot(-3) +7\cdot(-5) = 16+12-35 = -7 \]
提示：注意第二项符号为负，但展开式中已包含负号，直接计算即可。
步骤 3/7
目标：计算余子式 M13
去掉第1行第3列，得到：
\[ M_{13} = \begin{vmatrix} 2 & -2 & 7 \\ 1 & x^2+1 & 4 \\ 3 & -3 & 9 \end{vmatrix} \]
按第一行展开：
\[ M_{13} = 2 \begin{vmatrix} x^2+1 & 4 \\ -3 & 9 \end{vmatrix} -(-2) \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 9 \end{vmatrix} +7 \begin{vmatrix} 1 & x^2+1 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} \]
计算各二阶行列式：
\[ \begin{vmatrix} x^2+1 & 4 \\ -3 & 9 \end{vmatrix}=9(x^2+1)+12=9x^2+21,\quad \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 9 \end{vmatrix}=9-12=-3,\quad \begin{vmatrix} 1 & x^2+1 \\ 3 & -3 \end{vmatrix}=-3-3(x^2+1)=-3x^2-6 \]
代入：
\[ M_{13} = 2(9x^2+21) +2(-3) +7(-3x^2-6) = 18x^2+42-6-21x^2-42 = -3x^2-6 \]
提示：第二项中 -(-2) 变为 +2，注意符号。
步骤 4/7
目标：计算余子式 M14
去掉第1行第4列，得到：
\[ M_{14} = \begin{vmatrix} 2 & -2 & 4 \\ 1 & x^2+1 & 4 \\ 3 & -3 & 7 \end{vmatrix} \]
按第一行展开：
\[ M_{14} = 2 \begin{vmatrix} x^2+1 & 4 \\ -3 & 7 \end{vmatrix} -(-2) \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 7 \end{vmatrix} +4 \begin{vmatrix} 1 & x^2+1 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} \]
计算：
\[ \begin{vmatrix} x^2+1 & 4 \\ -3 & 7 \end{vmatrix}=7(x^2+1)+12=7x^2+19,\quad \begin{vmatrix} 1 & 4 \\ 3 & 7 \end{vmatrix}=7-12=-5,\quad \begin{vmatrix} 1 & x^2+1 \\ 3 & -3 \end{vmatrix}=-3-3(x^2+1)=-3x^2-6 \]
代入：
\[ M_{14} = 2(7x^2+19) +2(-5) +4(-3x^2-6) = 14x^2+38-10-12x^2-24 = 2x^2+4 \]
提示：注意第三项系数为4，不是7。
步骤 5/7
目标：计算 f(x) 表达式
由定义：
\[ f(x) = M_{11} + M_{12} + 2M_{13} - 3M_{14} \]
代入已得结果：
\[ f(x) = (13x^2+33) + (-7) + 2(-3x^2-6) - 3(2x^2+4) \]
合并同类项：
\[ f(x) = 13x^2+33-7-6x^2-12-6x^2-12 = (13-6-6)x^2 + (33-7-12-12) = x^2+2 \]
提示：注意合并时系数计算准确。
步骤 6/7
目标：证明 f(x) 在有理数域上不可约
f(x)=x^2+2 是二次多项式。若在有理数域上可约，则必有一次因式，即存在有理根。有理根可能为常数项2的因数：±1, ±2。代入检验：
\[ f(1)=1+2=3\neq0,\quad f(-1)=1+2=3\neq0,\quad f(2)=4+2=6\neq0,\quad f(-2)=4+2=6\neq0 \]
均不为0，故无有理根，因此 f(x) 在有理数域上不可约。
公式：有理根定理
提示：二次多项式可约当且仅当有有理根。
步骤 7/7
目标：求 a,b 满足整除条件
条件：x^2+2 整除 x^3+ax^2+bx。
因式分解：x^3+ax^2+bx = x(x^2+ax+b)。
由于 x^2+2 与 x 互素（无公共根），所以 x^2+2 必须整除 x^2+ax+b。
设 x^2+ax+b = k(x^2+2)，k 为常数。比较系数得：k=1，a=0，b=2。
因此 a=0, b=2。
公式：多项式整除性质
提示：注意 x^2+2 与 x 互素，否则需考虑公因子。
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