📝 山西师范大学 2025年高等代数真题
第0题
一、（20 分）设 $\displaystyle M_{11}, M_{12}, M_{13}, M_{14}$ 是 $\displaystyle \left|\begin{array}{cccc}1 & 2 & 3 & 4 \\ 2 & -2 & 4 & 7 \\ 1 & x^{2}+1 & 4 & 4 \\ 3 & -3 & 7 & 9\end{array}\right|$ 的 4 个余子式。
（10 分）（1）设 $\displaystyle f(x)=M_{1}+M_{12}+2 M_{13}-3 M_{14}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（5 分）（2）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上是不可约的．
（5 分）（3）求 $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时，满足 $\displaystyle f(x)$ 整除 $\displaystyle x^{3}+a x^{2}+b x$ ．
（10 分）（1）设 $\displaystyle f(x)=M_{1}+M_{12}+2 M_{13}-3 M_{14}$ ，求 $\displaystyle f(x)$ ．
（5 分）（2）证明：$\displaystyle f(x)$ 在有理数域上是不可约的．
（5 分）（3）求 $\displaystyle a, b$ 满足什么条件时，满足 $\displaystyle f(x)$ 整除 $\displaystyle x^{3}+a x^{2}+b x$ ．
第0题
七、（15分）设非零矩阵 $\displaystyle A=\left(a_{i j}\right)_{n \times n}$ 满足对所有 $\displaystyle j<n$ 都有 $\displaystyle a_{i j}=0$ ．
（1）若 $\displaystyle a_{n n} \neq 0$ ，求出 $A$ 的 Jordan标准型．
（2）若 $\displaystyle a_{n n} \neq 0$ ，求出 $A$ 的 Jordan标准型．
（1）若 $\displaystyle a_{n n} \neq 0$ ，求出 $A$ 的 Jordan标准型．
（2）若 $\displaystyle a_{n n} \neq 0$ ，求出 $A$ 的 Jordan标准型．
第0题
三、（15分）求
$$
\partial_{1}=(0,0,0,1), \partial_{2}=(1,2,-1,1), \partial_{3}=(1,-2,-1,0), \partial_{4}=(-1,-2,1,1), \partial_{5}=(2,0,1,-1)
$$
的极大线性无关组．
$$
\partial_{1}=(0,0,0,1), \partial_{2}=(1,2,-1,1), \partial_{3}=(1,-2,-1,0), \partial_{4}=(-1,-2,1,1), \partial_{5}=(2,0,1,-1)
$$
的极大线性无关组．
第0题
二、（20 分）设 $\displaystyle \left\{\begin{array}{l}x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}=0 \\ x_{2}+2 x_{3}+x_{4}=1 \\ -x_{2}+(a-3) x_{3}-2 x_{4}=b \\ 3 x_{1}+2 x_{2}+x_{3}+a x_{4}=-1\end{array}\right.$ ，讨论 $\displaystyle a, b$ 为何值时，方程组无解？有唯一解？有无穷多解？并求无穷多解？
第0题
五、（15 分）
（1）给出二次型 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 3 x_{i}^{2}+\sum_{\leq i<j \leq n} 2 x_{i} x_{j}$ 的矩阵，
（2）证明 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 3 x_{i}^{2}+\sum_{\leq i<j \leq n} 2 x_{i} x_{j}$ 为正定．
（1）给出二次型 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 3 x_{i}^{2}+\sum_{\leq i<j \leq n} 2 x_{i} x_{j}$ 的矩阵，
（2）证明 $\displaystyle \sum_{i=1}^{n} 3 x_{i}^{2}+\sum_{\leq i<j \leq n} 2 x_{i} x_{j}$ 为正定．
第0题
八、（15分）设 3 维线性空间 $V$ 上的线性变换 $Q$ 在基下的矩阵是 $\displaystyle \left(\begin{array}{ccc}1 & 1 & 0 \\ 0 & a & 0 \\ 2 & -3 & -1\end{array}\right)$ ．
（1）求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, 2 \varepsilon_{2}, 3 \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。
（2）求 $a$ 满足什么条件时？佮好有 3 个 1 维不变子空间。
（1）求 $\displaystyle \varphi$ 在基 $\displaystyle \varepsilon_{1}, 2 \varepsilon_{2}, 3 \varepsilon_{3}$ 下的矩阵。
（2）求 $a$ 满足什么条件时？佮好有 3 个 1 维不变子空间。
第0题
六、（30分）设 $V$ 是数域 $P$ 上所有 $\displaystyle 2 \times 3$ 矩阵组成的线性空间．
（1）给出 $V$ 的一组基，并证明．
（2）给出 $V$ 的两个子空间 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ ，使 $V$ 是它们直和并证明．
（3）给出 $V$ 的两个子空间 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ ，使 $V$ 是它们的和，但不是直和并证明．
（1）给出 $V$ 的一组基，并证明．
（2）给出 $V$ 的两个子空间 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ ，使 $V$ 是它们直和并证明．
（3）给出 $V$ 的两个子空间 $\displaystyle V_{1}$ 和 $\displaystyle V_{2}$ ，使 $V$ 是它们的和，但不是直和并证明．
第0题
四、（20 分）设 $\displaystyle f(x)$ 是数域 $P$ 上所有 $n$ 阶矩阵到数域 $P$ 上的线性函数，即对任意 $n$ 阶矩阵 $\displaystyle A, B$ 和数 $k$ 都有
$$
f(A+B)=f(A)+f(B), f(k A)=k f(A)
$$
再设 $\displaystyle f(A B)=f(B A)$ ，证明：
（1）$\displaystyle f(0)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle i \neq j$ ，则 $\displaystyle f\left(E_{\mathrm{ij}}\right)=0$ ．
（3）若 $\displaystyle i \neq j$ ，则 $\displaystyle f\left(E_{i i}\right)=f\left(E_{i j}\right)$ ．
（4）存在常数 $C$ ，使 $\displaystyle f(A)=C \cdot \operatorname{tr}(A)$ ．
$$
f(A+B)=f(A)+f(B), f(k A)=k f(A)
$$
再设 $\displaystyle f(A B)=f(B A)$ ，证明：
（1）$\displaystyle f(0)=0$ ．
（2）若 $\displaystyle i \neq j$ ，则 $\displaystyle f\left(E_{\mathrm{ij}}\right)=0$ ．
（3）若 $\displaystyle i \neq j$ ，则 $\displaystyle f\left(E_{i i}\right)=f\left(E_{i j}\right)$ ．
（4）存在常数 $C$ ，使 $\displaystyle f(A)=C \cdot \operatorname{tr}(A)$ ．